Tìm điểm M thuộc d để tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất biết A(1;5;0), B(3;3;6) và d:x+1/2=y-1/-1=z/2

Phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2t\\ y = 1 - t\\ z = 2t \end{array} \right.\) 

M thuộc d nên tọa độ M có dạng: \(M( - 1 + 2a;1 - a;2a)\) 

\(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;6} \right)\), đường thẳng AB đi qua A và nhận \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = (1; - 1;3)\) làm VTCP nên có phương trình:

 \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 5 - t\\ z = 3t \end{array} \right.\)

Gội H là hình chiếu vuông góc của M lên AB.

H thuộc AB nên tọa độ H có dạng \(H\left( {1 + b;5 - b;3b} \right).\) 

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MH} = (b - 2a + 2; - b + a + 4;3b - 2a)\\ \\ \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {MH} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {MH} = 0\\ \\ \Rightarrow 2b - 4a + 4 + 2b - 4a - 8 + 18b - 12a = 0\\ \\ \Leftrightarrow - 8a + 22b - 4 = 0 \Leftrightarrow - 9a + 11b - 2 = 0 \end{array}\)

\(\Rightarrow b = \frac{{9a + 2}}{{11}} \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( {\frac{{24 - 13a}}{{11}};\frac{{2a + 42}}{{11}};\frac{{5a + 6}}{{11}}} \right)\)

\(\Rightarrow MH = \frac{1}{{11}}\sqrt {{{\left( {24 - 13a} \right)}^2} + {{\left( {2a + 42} \right)}^2} + {{\left( {5a + 6} \right)}^2}}\)

Diện tích tam giác ABC nhỏ nhất khi MH ngắn nhất.

Từ tọa độ \(M( - 1 + 2a;1 - a;2a)\) và tọa độ M ở các phương án A, B, C, D ta suy ra A và thay vào (*).

Ta thấy với a=1 thì MH nhỏ nhất.