Gọi M(a; b; c) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất. Tính tổng a+b+c

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=3.

Gọi d là đường thẳng đi qua I(1;2;3)  và vuông góc (P).

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 - 2t\\ z = 3 + t \end{array} \right.\).

Gọi A,B lần lượt là giao của d và (S), khi đó tọa độ A, B ứng với t là nghiệm của phương trình:

\({\left( {1 + 2t - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 2t - 2} \right)^2} + {\left( {3 + t - 3} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 1 \end{array} \right.\)

Với \(t = 1 \Rightarrow A\left( {3;0;4} \right) \Rightarrow d\left( {A;(P)} \right) = \frac{{13}}{3}.\)

Với \(t = - 1 \Rightarrow B\left( { - 1;4;2} \right) \Rightarrow d\left( {B;(P)} \right) = \frac{5}{3}.\)

Với mọi điểm M(a;b;c) trên (S) ta luôn có \(d\left( {B;(P)} \right) \le d\left( {M;(P)} \right) \le d\left( {A;(P)} \right).\)

Vậy khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất bằng \(\frac{13}{3}\) khi M(3;0;4).

Do đó a+b+c=7.