Hỏi thể tích lớn nhất V của khối hộp ABCD.A1B1C1D1 là bao nhiêu biết đáy ABCD là hình vuông và diện tích toàn phần của hình hộp đó là 32

Gọi x là cạnh hình vuông đáy.

y là chiều cao hình hộp.

Diên tích toàn phần: \({S_{tp}} = 2\left( {{x^2} + 2xy} \right) = 32 \Leftrightarrow {x^2} + 2xy = 16 \Rightarrow xy = \frac{{16 - {x^2}}}{2} > 0\) 

Thể tích hình hộp là:\(V = {x^2}y = x.xy = x.\frac{{16 - {x^2}}}{2} = \frac{1}{2}\left( {16x - {x^3}} \right),x \in \left( {0;4} \right)\)  

Xét hàm số: \(f(x) = 16x - {x^3}\) trên (0;4)

\(f'(x) = 16 - 3{x^2} = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\,(Do\,x \in \left( {0;4)} \right)\)

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\);  \(\mathop {\max f(x)}\limits_{x \in \left( {0;4} \right)} = \frac{{128\sqrt 3 }}{9}\)

Vậy thể tích lớn nhất của hình hộp là \(V = \frac{1}{2}.\frac{{128\sqrt 3 }}{9} = \frac{{64\sqrt 3 }}{9}\)