Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 10cm biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn

Gọi x là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm trên đường kính đường tròn 0<x<10.

Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm trên đường tròn là: \(2\sqrt {{{10}^2} - {x^2}}\) 

Diện tích hình chữ nhật: \(S = 2x\sqrt {{{10}^2} - {x^2}}\) 

Đặt  \(f(x) = 2x\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} ,0 < x < 10\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} f'(x) = 2\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} }} = {2.10^2} - 4{x^2}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{10\sqrt 2 }}{2}\,(Do\,\,0 < x < 10) \end{array}\) 

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{{10\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là: \(S = 10\sqrt 2 .\sqrt {{{10}^2} - \frac{{{{10}^2}}}{2}} = 100\,(c{m^2})\)