Tìm x là khoảng cách nhỏ nhất giữa mép ao và mép mảnh đất cũng là chiều sâu của ao hình trụ được đào trên mảnh đất hình vuông diện tích 81 m2 có thể tích lớn nhất

Mảnh đất hình vuông có diện tích 81 m², suy ra độ dài cạnh là 9 m².

Gọi r là bán kính ao, độ sâu của ao h=x.

Khi đó thể tích ao là: \(V = \pi {r^2}x\)

Mặt khác ta có: \(r = \frac{{9 - 2x}}{2} = \frac{9}{2} - x \Rightarrow V = \pi {\left( {\frac{9}{2} - x} \right)^2}.x\) 

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{9}{2} - x} \right)^2}.x,\,\,0 < x < \frac{9}{2}\)  

Ta có:

\(\begin{array}{l} f'(x) = 3{x^2} - 18x + \frac{{81}}{4}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\left( {Do\,\,0 < x < \frac{9}{2}} \right) \end{array}\)

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{3}{2}\)  

Vậy thể tích lớn nhất có thể của ao là: \(V = \pi {\left( {\frac{9}{2} - \frac{3}{2}} \right)^2}.\frac{3}{2} = \frac{{27}}{2}\pi = 13,5\pi\)