Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=3^(2sin^2x)+3^(cos^2x)

Ta có \(f\left( x \right) = {3^{2{{\sin }^2}x}} + {3^{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} = {3^{2{{\sin }^2}x}} + {3^{1 - {{\sin }^2}x}} = 3 = {({3^{{{\sin }^2}x}})^2} + \frac{3}{{{3^{{{\sin }^2}x}}}}\)

Đặt \(t = {3^{{{\sin }^2}x}}\) do \(0 \le {\sin ^2}x \le 1 \Rightarrow 1 \le {3^{{{\sin }^2}x}} \le 3 \Rightarrow t \in \left( {1;3} \right)\) khi đó \({({3^{{{\sin }^2}x}})^2} + \frac{3}{{{3^{{{\sin }^2}x}}}} = {t^2} + \frac{3}{t}\)

Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^2} + \frac{3}{t}\) với \(t \in \left( {1;3} \right).\)

Ta có \(g'\left( t \right) = 2t - \frac{3}{{{t^2}}};g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt(3){{\frac{3}{2}}}\)

Ta có \(f\left( 1 \right) = 4;f\left( 3 \right) = 10;f\left( {\sqrt(3){{\frac{3}{2}}}} \right) = \sqrt(3){{\frac{{243}}{4}}} \Rightarrow M = 10;m = \sqrt(3){{\frac{{243}}{4}}} \Rightarrow P = \frac{{32}}{3}.\)