Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = log _2^4x + 12log _2^2x.{log _2}(8/x) biết 1

$P = \log _2^4x + 12\log _2^2x.{\log _2}\frac{8}{2} = \log _2^4x + 12\log _2^2x.\left( {3 - {{\log }_2}x} \right)$

$= \log _2^4x - 12\log _2^3x + 36\log _2^2x$

Đặt $t = {\log _2}x$

Do $1 < x < 64 \Rightarrow 0 < t < 6$

Xét hàm số $P = {t^4} - 12{t^3} + 36{t^2}$ trên $\left( {0;6} \right)$ 

$P'\left( t \right) = 4{t^3} - 36{t^2} + 72t;P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t = 6}\\{t = 3 \in \left( {0;6} \right)}\end{array}} \right.$

Bảng biến thiên:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6} \right)} P = P\left( 3 \right) = 81.$