Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = log _2^4x + 12log _2^2x.{log _2}(8/x) biết 1

\(P = \log _2^4x + 12\log _2^2x.{\log _2}\frac{8}{2} = \log _2^4x + 12\log _2^2x.\left( {3 - {{\log }_2}x} \right)\)

\( = \log _2^4x - 12\log _2^3x + 36\log _2^2x\)

Đặt \(t = {\log _2}x\)

Do \(1 < x < 64 \Rightarrow 0 < t < 6\)

Xét hàm số \(P = {t^4} - 12{t^3} + 36{t^2}\) trên \(\left( {0;6} \right)\) 

\(P'\left( t \right) = 4{t^3} - 36{t^2} + 72t;P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t = 6}\\{t = 3 \in \left( {0;6} \right)}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6} \right)} P = P\left( 3 \right) = 81.\)