Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=cos^4x+sin^2x+1/2 sinxcosx

Ta có \(y = {\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2} + \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x\)

\( = \frac{{1 + 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x}}{4} + \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x\)

\( = \frac{3}{4} + \frac{{{{\cos }^2}2x + \sin 2x}}{4} = \frac{3}{4} + \frac{{1 - {{\sin }^2}2x + \sin 2x}}{4}\)

Xét hàm số \(f(x) = 1 - {\sin ^2}2x + \sin 2x\)

Đặt \(t = \sin 2x,\) ta có hàm số: \(g(t) = 1 - {t^2} + t,t \in \left( { - 1;1} \right)\)

\(\begin{array}{l}g'(t) =  - 2t + 1\\g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\end{array}\)

Ta có: \(g( - 1) =  - 1;g(1) = 1;g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{5}{4}\)

Vậy \(\max g(t) = \max f(x) = \frac{5}{4}\)

Suy ra: \(\max y = \frac{3}{4} + \frac{{\frac{5}{4}}}{4} = \frac{{17}}{{16}}.\)