Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y={ln^2}x/x trên đoạn [1;e^3] là M=m/e^n.

$y = f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x} \Rightarrow {f^'}\left( x \right) = \frac{{2\ln {\rm{x}} - {{\ln }^2}x}}{{{x^2}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln {\rm{x}} = 0\\\ln {\rm{x}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = {e^2}\end{array} \right.$

Ta có: $f\left( 1 \right) = 0,\,\,f\left( {{e^2}} \right) = \frac{4}{{{e^2}}},f\left( {{e^3}} \right) = \frac{9}{{{e^3}}} \Rightarrow \frac{4}{{{e^2}}} = \frac{m}{{{e^n}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 4\\n = 2\end{array} \right. \Rightarrow S = {m^2} + 2{n^3} = 32.$${a^2} + {b^2}.$