Giá trị của m để hàm số (fleft( x ight) = mleft( {1 + sqrt {1 + x} } ight) - x) có giá trị lớn nhất trên đoạn (left[ {3;8} ight]) bằng 3

Ta có \(f'\left( x \right) = {\left[ {m\left( {1 + \sqrt {1 + x} } \right) - x} \right]^\prime } = \frac{m}{{2\sqrt {1 + x} }} - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{m}{{2\sqrt {1 + x} }} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{{m^2} - 4}}{4}\)

Tính các giá trị \(f\left( 3 \right) = 3m - 3;f\left( 8 \right) = 4m - 8;f\left( {\frac{{{m^2} - 4}}{4}} \right) = {\left( {\frac{{m + 2}}{2}} \right)^2}\)

TH1: Nếu \(f\left( 3 \right) = 3m - 3 = 3 \Leftrightarrow m = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( 8 \right) = 0\\x = \frac{{{m^2} - 4}}{5} = 0 \notin \left[ {3;8} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;8} \right]}  = 3\)

TH2: Nếu \(f\left( 8 \right) = 4m - 8 = 3 \Rightarrow m = \frac{{11}}{4} \Rightarrow f\left( 3 \right) = \frac{{21}}{4} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;8} \right]} f\left( x \right) \ne 3\)

TH3: Nếu

\(f\left( {\frac{{{m^2} - 4}}{4}} \right) = {\left( {\frac{{m + 2}}{2}} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2 - 2\sqrt 3  \Rightarrow x = \frac{{{m^2} - 4}}{4} = 3 + 2\sqrt 3 \\m =  - 2 + 2\sqrt 3  \Rightarrow x = \frac{{{m^2} - 4}}{4} = 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;8} \right]} f\left( x \right) \ne 3\)

Suy ra \(m = 2\)thì hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {3;8} \right]\) bằng 3.