Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (P = frac{{left( {a - b} ight)left( {b - c} ight)left( {c - a} ight)}}{{abc}}.)

Xét \(A = \frac{{\left| {\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)} \right|}}{{abc}}\,\).

Giả sử \(a \ge b \ge c\)suy ra:

\(A = \left| {\left( {1 - \frac{b}{a}} \right)\left( {1 - \frac{c}{b}} \right)\left( {1 - \frac{a}{c}} \right)} \right| \le \left| {\left( {1 - b} \right)\left( {1 - \frac{1}{{2b}}} \right)1} \right|\) (vì \(0 \le \left| {1 - \frac{a}{c}} \right| \le 1;\,\,\,1 \le \frac{a}{c} \le 2\))

Khi đó \(A \le \left| {\left( {\frac{3}{2} - b - \frac{1}{{2b}}} \right)} \right| \le \left| {\frac{3}{2} - 2\sqrt {\frac{1}{2}} } \right| = \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}.\)