YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện \(720\left( {C_7^7 + C_8^7 + ...C_n^7} \right) = \frac{1}{{4032}}A_{n + 1}^{10}.\) Hệ số của \(x^7\) trong khai triển \({\left( {x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}\left( {x \ne 0} \right)\) bằng

    • A. 550    
    • B. 120
    • C. 560
    • D. - 120

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    + Sử dụng công thức \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\), ta có

    \(\begin{array}{l}
    C_{n + 1}^8 = C_n^8 + C_n^7\\
    C_n^8 = C_{n - 1}^7 + C_{n - 1}^8\\
    C_{n - 1}^8 = C_{n - 2}^7 + C_{n - 2}^8\\
    ...\\
    C_9^8 = C_8^8 + C_8^7\\
    C_8^8 = C_8^8
    \end{array}\) 

    Cộng vế với vế ta được \(C_{n + 1}^8 + C_n^8 + C_{n - 1}^8 + ... + C_9^8 + C_8^8 = C_n^8 + C_n^7 + C_{n - 1}^8 + C_{n - 1}^7 + ... + C_8^8 + C_8^7 + C_8^8\) 

    Thu gọn ta được \(C_8^8 + C_8^7 + ... + C_n^7 = C_{n + 1}^8\) mà \(C_8^8 = C_7^7 = 1\) nên $C_7^7 + C_8^7 + ... + C_n^7 = C_{n + 1}^8\) 

    Khi đó ta có \(720C_7^7 + C_8^7 + ...C_n^7 = \frac{1}{{4032}}A_{n + 1}^{10} \Leftrightarrow 720.C_{n + 1}^8 = \frac{1}{{4032}}A_{n + 1}^{10} \Rightarrow 720.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{8!\left( {n - 7} \right)!}} = \frac{1}{{4032}}\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 9} \right)!}}\) 

    \(\begin{array}{l}
     \Leftrightarrow \frac{1}{{56}}\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 9} \right)!\left( {n - 8} \right)\left( {n - 7} \right)}} = \frac{1}{{4032}}.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 9} \right)!}}\left( {n > 9} \right)\\
     \Leftrightarrow \left( {n - 7} \right)\left( {n - 8} \right) = 72 \Leftrightarrow {n^2} - 15n + 56 = 72\\
     \Leftrightarrow {n^2} - 15n - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    n =  - 1(ktm)\\
    n = 16(tm)
    \end{array} \right.
    \end{array}\) 

    Với n = 16 ta có \({\left( {x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{16}} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.{x^{16 - k}}} {\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.{x^{16 - k}}.{x^{ - 2k}}{{( - 1)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.{x^{16 - 3k}}{{( - 1)}^k}} \) 

    Số hạng chứa \(x^7\) ứng với \(16 - 3k = 7 \Rightarrow k = 3\) 

    Nên hệ số cần tìm là \(C_{16}^3.{( - 1)^3} =  - 560.\) 

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 67059

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF