Cho hai số thực x, y thỏa mãn \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \sqrt {{y^2} + 6y + 10}  = \sqrt {6 + 4x - {x^2}} .

Ta có \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \sqrt {{y^2} + 6y + 10}  = \sqrt {6 + 4x - {x^2}} \) 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \sqrt {{y^2} + 6y + 10}  - \sqrt {6 + 4x - {x^2}}  = 0}\\
{ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \frac{{\left( {\sqrt {{y^2} + 6y + 10}  - \sqrt {6 + 4x - {x^2}} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 6y + 10}  + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} } \right)}}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10}  + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} = 0}\\
{ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \frac{{{y^2} + 6y + 10 - 6 - 4x + {x^2}}}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10}  + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} = 0}\\
{ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \frac{{{x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4}}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10}  + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} = 0}\\
{ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10}  + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }}} \right) = 0}\\
{ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 = 0\left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \Leftrightarrow {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2} = 91 + \frac{1}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10}  + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} > 0)} \right)}
\end{array}\)

Phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\) là phương trình đường tròn (C) tâm I(2;-3) và bán kính R = 3.

Gọi \(N\left( {x;y} \right) \in (C)\) ta suy ra \(ON = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \) suy ra \(T = \left| {ON - a} \right|\) 

Gọi A, B là giao điểm của đường tròn (C) và đường thẳng OI.

Khi đó \(OA = OI - R = \sqrt {13}  - 3\) và \(OB = OI + R = \sqrt {13}  + 3\) 

Suy ra \(\sqrt {13}  - 3 \le \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \le \sqrt {13}  + 3\) 

TH1: Nếu \(\sqrt {13}  - 3 \le a \le \sqrt {13}  + 3\) thì \(\left| {\sqrt {x{}^2 + {y^2}}  - a} \right| \ge 0 \Rightarrow \min T = 0 \Rightarrow M \ge 2m \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\) 

TH2: Nếu \(a < \sqrt {13}  - 3 \Rightarrow a < \sqrt {13} \) nên \(\left| {\sqrt {13}  + 3 - a} \right| > \left| {\sqrt {13}  - 3 - a} \right|\) , do đó \(M = \left| {\sqrt {13}  + 3 - a} \right|;m = \left| {\sqrt {13}  - 3 - a} \right|\) 

Vì \(M \ge 2m \Rightarrow \left| {\sqrt {13}  + 3 - a} \right| \ge 2\left| {\sqrt {13}  - 3 - a} \right|\) 

\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {13}  + 3 - a} \right)^2} - {\left( {2\sqrt {13}  - 6 - 2a} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {13}  - 9 \le a \le \sqrt {13}  + 1 \Rightarrow a \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0} \right\}\) 

TH3: Nếu \(a > \sqrt {13}  + 3 \Rightarrow a > \sqrt {13} \) nên \(\left| {\sqrt {13}  + 3 - a} \right| < \left| {\sqrt {13}  - 3 - a} \right|,\) do đó \(m = \left| {\sqrt {13}  + 3 - a} \right|;M = \left| {\sqrt {13}  - 3 - a} \right|\) 

Vì \(M \ge 2m \Rightarrow \left| {\sqrt {13}  - 3 - a} \right| \ge 2\left| {\sqrt {13}  + 3 - a} \right|\) 

\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {13}  - 3 - a} \right)^2} - {\left( {2\sqrt {13}  + 6 - 2a} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {13}  + 1 \le a \le \sqrt {13}  + 9 \Rightarrow a \in \left\{ {7;8;9;10} \right\}\) 

Vậy có 16 giá trị của a thỏa mãn đề bài.