Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Vì \( - 1 \le {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  \le 1; - 1 \le cosx \le 1\) nên \(2\cos x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  >  - 3 \Rightarrow 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  - sinx + 4 > 0\) 

Đặt \(\frac{{3\sin x - \cos x - 1}}{{2{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  - sinx + 4}} = t \Leftrightarrow 3\sin x - \cos x - 1 = t\left( {2{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  - sinx + 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos x\left( {2t + 1} \right) - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \left( {t + 3} \right) =  - 4t - 1\) 

Phương trình trên có nghiệm khi \({\left( {2t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 3} \right)^2} \ge {\left( { - 4t - 1} \right)^2}\) 

\( \Leftrightarrow 5{t^2} + 10t + 10 \ge 16{t^2} + 8t + 1 \Leftrightarrow 11{t^2} - 2t - 9 \le 0 \Leftrightarrow  - \frac{9}{{11}} \le t \le 1 \Rightarrow 0 \le \left| t \right| \le 1\) 

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(f(x)\) đồng biến trên (0;1)

Nên phương trình \(f\left( x \right) = f\left( {\left| t \right|} \right)\) với \(t \in [0;1]\) có nghiệm duy nhất khi \(x = \left| t \right| \Rightarrow x \ge 0\) 

Do đó phương trình \(f\left( {\left| {\frac{{3\sin x - \cos x - 1}}{{2{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  - sinx + 4}}} \right|} \right) = f\left( {{m^2} + m + 4} \right)\) có nghiệm

\( \Leftrightarrow \left| t \right| = {m^2} + 4m + 4\) có nghiệm với \(0 \le \left| t \right| \le 1\) 

\( \Leftrightarrow 0 \le {m^2} + 4m + 4 \le 1 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} \le 1 \Leftrightarrow  - 3 \le m \le  - 1\) 

Mà \(m \in Z\) nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\}.\) Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu.