Cho parabol (P) có phương trình \(y=x^2\) và đường thẳng d đi qua A(1;3).

Phương trình đường thẳng d là: \(y = k\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = kx - k + 3\) 

Xét phương trình \({x^2} = kx - k + 3 \Leftrightarrow {x^2} - kx + k - 3 = 0\) (*)

\(\Delta  = {k^2} - 4k + 12 = {\left( {k - 2} \right)^2} + 6 > 0,\forall k \Rightarrow d\) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},\left( {{x_1} > {x_2}} \right)\) là nghiệm của (*) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = k\\
{x_1}{x_2} = k - 3
\end{array} \right.\) 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng d:

\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {kx - k + 3 - {x^2}} \right)dx = \left( {\frac{1}{2}k{x^2} - \left( {k - 3} \right)x - \frac{1}{3}{x^3}} \right)\left| \begin{array}{l}
^{{x_2}}\\
_{{x_1}}
\end{array} \right.} \\
 = \left( {\frac{1}{2}kx_1^2 - \left( {k - 3} \right){x_1} - \frac{1}{3}x_1^3} \right) - \left( {\frac{1}{2}kx_2^2 - \left( {k - 3} \right){x_2} - \frac{1}{3}x_2^3} \right)\\
 = \frac{1}{2}k\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) - \left( {k - 3} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - \frac{1}{3}\left( {x_1^3 - x_2^3} \right)\\
 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {\frac{1}{2}k\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - \left( {k - 3} \right) - \frac{1}{3}\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right)} \right]\\
 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {\frac{1}{2}k.k - \left( {k - 3} \right) - \frac{1}{3}\left( {{k^2} - \left( {k - 3} \right)} \right)} \right]\\
 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {\frac{1}{6}{k^2} - \frac{2}{3}k + 2} \right)
\end{array}\) 

\(\begin{array}{l}
 = \frac{1}{6}\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \left( {{k^2} - 4k + 12} \right)\\
 = \frac{1}{6}\sqrt {{k^2} - 4k + 12} .{k^2} - 4k + 12 = \frac{1}{6}{\sqrt {{k^2} - 4k + 12} ^3}
\end{array}\) 

Ta có \({k^2} - 4k + 12 = {\left( {k - 2} \right)^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow S \ge \frac{1}{6}\sqrt[3]{8} = \frac{1}{3}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow k = 2\).

Vậy, giá trị thực của k thuộc khoảng (0;3).