YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho parabol (P) có phương trình \(y=x^2\) và đường thẳng d đi qua A(1;3). Giả sử khi đường thẳng d có hệ số góc k thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng d là nhỏ nhất. Giá trị thực của k thuộc khoảng nào sau đây?

    • A. \(\left( {3; + \infty } \right)\)
    • B. \(\left( { - \infty  - 3} \right)\)
    • C. (0;3)
    • D. (- 3;0)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: C

    Phương trình đường thẳng là: \(y = k\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = kx - k + 3\) 

    Xét phương trình \({x^2} = kx - k + 3 \Leftrightarrow {x^2} - kx + k - 3 = 0\) (*)

    \(\Delta  = {k^2} - 4k + 12 = {\left( {k - 2} \right)^2} + 6 > 0,\forall k \Rightarrow d\) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},\left( {{x_1} > {x_2}} \right)\) là nghiệm của (*) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {x_1} + {x_2} = k\\
    {x_1}{x_2} = k - 3
    \end{array} \right.\) 

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng d:

    \(\begin{array}{l}
    S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {kx - k + 3 - {x^2}} \right)dx = \left( {\frac{1}{2}k{x^2} - \left( {k - 3} \right)x - \frac{1}{3}{x^3}} \right)\left| \begin{array}{l}
    ^{{x_2}}\\
    _{{x_1}}
    \end{array} \right.} \\
     = \left( {\frac{1}{2}kx_1^2 - \left( {k - 3} \right){x_1} - \frac{1}{3}x_1^3} \right) - \left( {\frac{1}{2}kx_2^2 - \left( {k - 3} \right){x_2} - \frac{1}{3}x_2^3} \right)\\
     = \frac{1}{2}k\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) - \left( {k - 3} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - \frac{1}{3}\left( {x_1^3 - x_2^3} \right)\\
     = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {\frac{1}{2}k\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - \left( {k - 3} \right) - \frac{1}{3}\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right)} \right]\\
     = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {\frac{1}{2}k.k - \left( {k - 3} \right) - \frac{1}{3}\left( {{k^2} - \left( {k - 3} \right)} \right)} \right]\\
     = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {\frac{1}{6}{k^2} - \frac{2}{3}k + 2} \right)
    \end{array}\) 

    \(\begin{array}{l}
     = \frac{1}{6}\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \left( {{k^2} - 4k + 12} \right)\\
     = \frac{1}{6}\sqrt {{k^2} - 4k + 12} .{k^2} - 4k + 12 = \frac{1}{6}{\sqrt {{k^2} - 4k + 12} ^3}
    \end{array}\) 

    Ta có \({k^2} - 4k + 12 = {\left( {k - 2} \right)^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow S \ge \frac{1}{6}\sqrt[3]{8} = \frac{1}{3}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow k = 2\).

    Vậy, giá trị thực của k thuộc khoảng (0;3).

    ATNETWORK

Mã câu hỏi: 80567

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON