Gọi S là tổng các giá trị của tham số \(m < 0\) thỏa mãn giá trị nhỏ nhất trên đoạn [1;2] của hàm số \(y

\(\begin{array}{l}
y = f\left( x \right) = {x^3} - 2m{x^2} - 4{m^2}x + 100 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 4mx - 4{m^2}\\
y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4mx - 4{m^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2m\\
x =  - \frac{2}{3}m
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Do \(m<0\) nên \(2m < 0 <  - \frac{2}{3}m\) 

TH1: \( - \frac{2}{3}m < 1 < 2 \Leftrightarrow m >  - \frac{3}{2}\) 

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 101 - 2m - 4{m^2} = 12 \Rightarrow 4{m^2} + 2m - 89 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {357} }}{4}\,(ktm)\) 

TH2: \(1 \le  - \frac{2}{3}m \le 2 \Leftrightarrow  - 3 \le m \le  - \frac{3}{2}\) 

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{2}{3}m} \right) = \frac{{40}}{{27}}{m^3} + 100 = 12 \Rightarrow m =  - \sqrt[3]{{\frac{{297}}{5}}}(ktm)\) 

TH3: \(1 < 2 <  - \frac{2}{3}m \Leftrightarrow m <  - 3\) 

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 8 - 8m - 8{m^2} + 100 = 12 \Rightarrow 8{m^2} + 8m - 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3\,(ktm)\\
m =  - 4\,(tm)
\end{array} \right.\) 

Vậy \(m =  - 4 \Rightarrow S =  - 4 \in \left( { - 5;0} \right) \Rightarrow  - 5 < S < 0\)