Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a mặt phẳng (P) qua B’ và vuông góc A’C chia lăng trụ thành hai khối

Gọi M là trung điểm của A’C’, Ta có: B’M vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’) nên \(B' M \bot A'C.\)

Do đó \(M \in \left( P \right).\) 

Trong mặt phẳng (ACC’A’), kẻ MN vuông góc với A’C \(\left( {N \in AA' } \right),\) do đó \(N \in \left( P \right).\) 

Thiết diện cắt bởi (P) là tam giác B’MN.

Hai tam giác A’C’C và NA’M đồng dạng nên \(A' {\rm N} = \frac{1}{2}A' M = \frac{a}{4}\)  

Thể tích tứ diện A’B’MN là \({V_1} = \frac{1}{3}A'N.{s_{B' {\rm A}'{\rm M}}} = \frac{1}{3}\frac{a}{4}\frac{1}{2}a\frac{a}{2}\sin {60^0} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\)  

Thể tích lăng trụ là \(V = AA' .S{ _{ABC}} = 2a.\frac{1}{2}a.a.\sin {60^0} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) 

Ta có \(\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{1}{{48}}\)  nên tỉ lệ thể tích của hai khối là  \(\frac{1}{47}\)