Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông cân tại A và D AB=2a AD=DC=a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=2a M, N là trung điểm của SA và SB

Ta có: \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AD = \frac{1}{2}.\left( {2a + a} \right).a = \frac{3}{2}{a^2}\)

\({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{2}{a^2}.2a = {a^3}\)

Ta có: 

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AD.AB = \frac{1}{2}.2a.a = {a^2} = \frac{2}{3}{S_{ABCD}} \Rightarrow {S_{ADC}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}\)

Ta đây suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} {V_{SABC}} = \frac{2}{3}{V_{SABCD}}\\ {V_{SADC}} = \frac{1}{3}{V_{SABCD}} \end{array} \right.\) (*)

Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{{{V_{SMNC}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SC}}{{SC}} = \frac{1}{4}\\ \Rightarrow {V_{SMNC}} = \frac{1}{4}{V_{SABC}} = \frac{1}{4}.\frac{2}{3}{V_{SABCD}} = \frac{1}{6}{V_{SABCD}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \frac{{{V_{SMCD}}}}{{{V_{SACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SC}}{{SC}}.\frac{{SD}}{{SD}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow {V_{SMCD}} = \frac{1}{2}{V_{SADC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.{V_{SABCD}} = \frac{1}{6}{V_{SABCD}} \end{array}\)

Từ đây ta có \({V_{SMNCD}} = \frac{1}{3}{V_{SABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}.\)