Cho lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$ có $AB = 2\sqrt 3 ,\,\,BB' = 2$.Gọi $M,\,\,N,\,\,P$ tương ứng là trung điểm của $A'B',\,\,A'C',\,\,BC$. Nếu gọi $\alpha$ là độ lớn của góc của hai mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {ACC'} \right)$ thì $\cos \alpha$bằng:

Ta có: $\left( {MNP} \right) \equiv \left( {MNCP} \right)$ (do $CP//B'C'//MN$) và $\left( {ACC'} \right) \equiv \left( {ACC'A'} \right)$ $\Rightarrow \alpha  = \widehat {\left( {\left( {MNP} \right);\left( {ACC'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {\left( {MNCP} \right);\left( {ACC'A'} \right)} \right)}$

Dựng $PE \bot AC,\,\,MF \bot A'C',\,\,\left( {E \in AC;\,F \in A'C'} \right)$ $\Rightarrow CE = FN = \dfrac{1}{4}AC$ và $P,E,F,M$ đồng phẳng

Ta có:  $PE \bot AC,\,\,PE \bot AA' \Rightarrow PE \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow \left( {PEFM} \right) \bot \left( {ACC'A'} \right)$

$\Rightarrow$ Hình chiếu vuông góc của hình bình hành lên $\left( {ACC'A'} \right)$ là hình bình hành $ECNF$$\Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{{S_{ECNF}}}}{{{S_{MNCP}}}}$

Ta có: ${S_{ECNF}} = EC.CC' = \dfrac{1}{4}.AC.CC' = \dfrac{1}{4}.2\sqrt 3 .2 = \sqrt 3$; 

$\Delta A'B'C'$ đều  $\Rightarrow C'M = 2\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 3$

$\Delta CC'M$ vuông tại C’  $\Rightarrow CM = \sqrt {CC{'^2} + C'{M^2}}  = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13}$ 

$\Delta CC'N$ vuông tại C’  $\Rightarrow CN = \sqrt {CC{'^2} + C'{N^2}}  = \sqrt {{2^2} + {{\sqrt 3 }^2}}  = \sqrt 7$

$\Delta MNC$ có: $MN = \sqrt 3 ,\,\,CM = \sqrt {13} ,\,\,CN = \sqrt 7$, có diện tích là: ${S_{MNC}} = \sqrt {p.\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$

$= \sqrt {\dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 7  + \sqrt {13} }}{2}.\left( {\dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 7  + \sqrt {13} }}{2} - \sqrt 3 } \right)\left( {\dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 7  + \sqrt {13} }}{2} - \sqrt 7 } \right)\left( {\dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 7  + \sqrt {13} }}{2} - \sqrt {13} } \right)}$

$= \sqrt {\dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 7  + \sqrt {13} }}{2}.\dfrac{{\sqrt 7  + \sqrt {13}  - \sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt {13}  - \sqrt 7 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 7  - \sqrt {13} }}{2}}  = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{4}$ $\Rightarrow {S_{MNCP}} = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}$

$\Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{{S_{ECNF}}}}{{{S_{MNCP}}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{2}{5}$.

Chọn: B