Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {{C_2}} \right)$ lần lượt có phương trình ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$ và ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 1$. Biết đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{x + c}}$ đi qua tâm của $\left( {{C_1}} \right)$, đi qua tâm của $\left( {{C_2}} \right)$ và có các đường tiệm cận tiếp xúc với cả $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {{C_2}} \right)$. Tổng $a + b + c$ là

Ta có đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ có tâm ${I_1}\left( {1;2} \right)$ và bán kính ${R_1} = 1$

Đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$ có tâm ${I_2}\left( { - 1;0} \right)$ và bán kính ${R_2} = 1$

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{x + c}}$ đi qua ${I_1};{I_2}$ nên ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{a + b}}{{1 + c}} = 2\\\dfrac{{ - a + b}}{{c - 1}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2c + 2\\ - a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2c + 2\\a = b\end{array} \right.$

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{x + c}}$ có TCĐ $\Delta :x =  - c \Leftrightarrow x + c = 0$

Vì $\Delta$ tiếp xúc với cả $\left( {{C_1}} \right);\left( {{C_2}} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {1 + c} \right| = 1\\\left| { - 1 + c} \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}c = 0\\c =  - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}c = 0\\c = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow c = 0$

Với $c = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\a = b\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 1 \Rightarrow a + b + c = 0 + 1 + 1 = 2.$

Chọn B.