Cho khối chóp tam giác \(S.ABC\) có đỉnh \(S\) và đáy là tam giác \(ABC\). Gọi \(V\) là thể tích của khối chóp. Mặt phẳng đi qua trọng tâm của ba mặt bên của khối chóp chia khối chóp thành hai phần. Tính theo \(V\) thể tích của phần chứa đáy của khối chóp.

Câu hỏi:
Cho khối chóp tam giác \(S.ABC\) có đỉnh \(S\) và đáy là tam giác \(ABC\). Gọi \(V\) là thể tích của khối chóp. Mặt phẳng đi qua trọng tâm của ba mặt bên của khối chóp chia khối chóp thành hai phần. Tính theo \(V\) thể tích của phần chứa đáy của khối chóp.
- A. \(\dfrac{{37}}{{64}}V\).
- B. \(\dfrac{{27}}{{64}}V\).
- C. \(\dfrac{{19}}{{27}}V\).
- D. \(\dfrac{8}{{27}}V\).
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: C

Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,BC,AC\) và \({G_1};{G_2};{G_3}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SAB;SBC;SAC.\)

Theo tính chất trọng tâm ta có \(\dfrac{{S{G_1}}}{{SM}} = \dfrac{{S{G_2}}}{{SN}} = \dfrac{{S{G_3}}}{{SP}} = \dfrac{2}{3}\)

Trong \(\left( {SBC} \right)\), qua \({G_2}\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(SB,SC\) lần lượt tại \(E\) và \(F.\)

Trong \(\left( {SAC} \right)\), đường thẳng \(F{G_3}\) cắt \(SA\) tại \(D.\)

Lúc này \(\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) \equiv \left( {DEF} \right)\)

Vì \(EF//BC \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SB}} = \dfrac{{SF}}{{SC}} = \dfrac{{S{G_2}}}{{SN}} = \dfrac{2}{3}\) (theo định lý Ta-lét)

Lại có trong \(\Delta SPC\) có \(\dfrac{{S{G_3}}}{{SP}} = \dfrac{{SF}}{{SC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow F{G_3}//PC \Rightarrow DF//BC \Rightarrow \dfrac{{SD}}{{SA}} = \dfrac{{SF}}{{SC}} = \dfrac{2}{3}\)

Từ đó ta có \(\dfrac{{{V_{S.DEF}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SD}}{{SA}}.\dfrac{{SE}}{{SB}}.\dfrac{{SF}}{{SC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{{27}} \Rightarrow {V_{S.DEF}} = \dfrac{8}{{27}}V\)

Nên phần chứa đáy của hình chóp là \(V - \dfrac{8}{{27}}V = \dfrac{{19}}{{27}}V\)

Chọn C.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE