Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I có cạnh bằng a, góc BAD=60 độ, H là trung điểm của IB, SH vuông góc (ABCD)

Nhìn vào hình thì dễ nhận ra hai khối chóp S.ABCD và S.AHCD có chung chiều cao nên ta chỉ cần so sánh 2 diện tích đáy.

Ta có: \(\frac{{{S_{AHCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{2{S_{AHD}}}}{{2{S_{ABCD}}}} = \frac{{2.\frac{3}{4}{S_{BCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = 2.\frac{3}{4}.\frac{1}{2} = \frac{3}{4}\)

Suy ra:\({V_{SAHCD}} = \frac{3}{4}{V_{SABCD}}\)

Mặt khác: ta có \(BAD = {60^0} \Rightarrow\) tam giác ABD đều, nên \(AB = BD = AD = a \Rightarrow IH = \frac{a}{4}\).

 Khi đó: \(HC = \sqrt {I{H^2} + I{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\).

Do \(SCH = {45^0}\) nên tam giác SCH vuông cân tại H.

Nên: \(SH = HC = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\)

\(\Rightarrow {V_{SAHCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}}.\frac{3}{4} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {13} }}{4}.a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{3}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt {39} }}{{32}}\)