Cho biết: ({log _{25}}7 = a) và ({log _2}5 = b.) Tính ({log _{sqrt[3]{5}}}frac{{49}}{8}) theo a,b

Theo đề bài có a, b > 0.

Ta có: ${\log _{\sqrt[3]{5}}}\frac{{49}}{8} = {\log _{{5^{\frac{1}{3}}}}}\frac{{49}}{8} = 3({\log _5}{7^2} - {\log _5}{2^3}) = 3(2{\log _5}7 - 3{\log _5}2).\,\,(*)$

Theo giả thiết:

${\log _{25}}7 = a \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _5}7 = a \Leftrightarrow {\log _5}7 = 2a.\,\,(**)$

${\log _2}5 = b \Leftrightarrow {\log _5}2 = \frac{1}{b}.$ (***)

Thay (**) và (***) vào (*) ta được:

${\log _{\sqrt[3]{5}}}\frac{{49}}{8} = 3(2{\log _5}7 - 3{\log _5}2) = 3\left( {2.2a - 3\frac{1}{b}} \right) = \frac{{3(4ab - 3)}}{b}$

Vậy ${\log _{\sqrt[3]{5}}}\frac{{49}}{8} = \frac{{3(4ab - 3)}}{b}$