Lý thuyết và bài tập Xác định các vị trí trùng nhau của hai hệ vân trong Giao thoa ánh sáng

XÁC ĐỊNH CÁC VỊ TRÍ TRÙNG NHAU CỦA HAI HỆ VÂN

Cách 1:

\(x = {k_1}{i_1} = {k_2}{i_2} = {k_1}\frac{{{\lambda _1}D}}{a} = {k_2}\frac{{{\lambda _2}D}}{a} \Rightarrow \frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \frac{{{i_2}}}{{{i_1}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \)  phân số tối giản  \( = \frac{b}{c}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {k_1} = bn\\ {k_2} = cn \end{array} \right. \Rightarrow \left( {n \in Z} \right)\\ \Rightarrow x = bn{i_1} = cn{i_2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{\min }} = b{i_1} = c{i_2}\,khi\,n = 1\\ \Delta x = {x_{n + 2}} - {x_n} = b{i_1} = c{i_2} \end{array} \right. \end{array}\)

Trong đó, x_min là khoảng cách từ O đến vị trí trùng gần nhất và Δx là khoảng cách giữa hai vị trí trùng liên tiếp ( \({i_ \equiv }\)). Trường hợp này  \(\Delta x = {x_{\min }} = \left( {{i_ \equiv }} \right)\)

Cách 2:  \(\frac{{{i_2}}}{{{i_1}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \) phân số tối giản =  \(\frac{b}{c} \Rightarrow {i_ \equiv } = b{i_1} = c{i_2}\)

Vì tại gốc tọa độ là một vị trí vân sáng trùng với vân sáng nên:  

\(\Delta x = {x_{\min }} - {i_ \equiv }.\)

Các vị trí trùng khác: \(x = n{i_ \equiv }\) (với n là số nguyên),

Cách 1:

\(x = \left( {2{m_1} - 1} \right)\frac{{{i_1}}}{2} = \left( {2{m_2} - 1} \right)\frac{{{i_2}}}{2} \Rightarrow \frac{{2{m_1} - 1}}{{2{m_2} - 1}} = \frac{{{i_2}}}{{{i_1}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \)  phân số tối giản  \( = \frac{b}{c}.\)

 (Dĩ nhiên, b và c là các số nguyên dương lẻ thì mới có thể có vân tối trùng với vân tối)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{m_1} - 1 = b\left( {2n - 1} \right)\\ 2{m_2} - 1 = c\left( {2n - 1} \right) \end{array} \right.\left( {n \in Z} \right)\\ \Rightarrow x = b\left( {2n - 1} \right)\frac{{{i_1}}}{2} = c\left( {2n - 1} \right)\frac{{{i_2}}}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{\min }} = \frac{{b{i_1}}}{2} = \frac{{c{i_2}}}{2}\,\,khi\,\,n = 1\\ \Delta x = {x_{n + 2}} - {x_n} = b{i_1} = c{i_2} \end{array} \right. \end{array}\)

Trong đó, x_min là khoảng cách từ O đến vị trí trùng gần nhất và Δx là khoảng cách giữa hai vị trí trùng hên tiếp (\({i_ \equiv }\)  ). Trường hợp này  \(\Delta x = 2{x_{\min }}\,\,hay\,\,{x_{\min }} = \Delta x/2\)

Cách 2:

\(\frac{{{i_2}}}{{{i_1}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \) phân số tối giản  \(= \frac{b}{c} \Rightarrow {i_ \equiv } = b{i_1} = c{i_2}\)

Vì tại gốc tọa độ không phải là vị trí vân tối trùng và nó cách vị trí trùng gần nhất là \({x_{\min }} = 0,5{i_ \equiv }\)  nên các vị trí trùng khác: x = (n − 0,5) \({i_ \equiv }\)  (với n là số nguyên),

Cách 1:

\(x = {k_1}{i_1} = \left( {2{m_2} - 1} \right)\frac{{{i_2}}}{2} \Rightarrow \frac{{{k_1}}}{{2{m_2} - 1}} = \frac{{0,5{i_2}}}{{{i_1}}} = \frac{{0,5{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \) phân số tối giản  \( = \frac{b}{c}.\)

 (Dĩ nhiên, c là số nguyên dương lẻ thì mới có thể có vân sáng của λ₁ trùng với vân tối của λ₂).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {k_1} = b\left( {2n - 1} \right)\\ 2{m_2} - 1 = c\left( {2n - 1} \right) \end{array} \right.\left( {n \in Z} \right)\\ \Rightarrow b\left( {2n - 1} \right){i_1} = c\left( {2n - 1} \right)\frac{{{i_2}}}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{\min }} = b{i_1} = \frac{{c{i_2}}}{2}\,\,khi\,\,n = 1\\ \Delta x = {x_{n + 1}} - {x_n} = 2b{i_1} = c{i_2} \end{array} \right. \end{array}\)

Trong đó, x_min là khoảng cách từ O đến vị trí trùng gần nhất và Δx là khoảng cách giữa hai vị trí trùng liên tiếp (\({i_ \equiv }\) ). Trường hợp này  \(\Delta x = 2{x_{\min }}\,\,\,hay\,\,{x_{\min }} = \Delta x/2.\)

Cách 2:

* Vân tối của λ₂ trùng với vân sáng λ₁

 \(x = \left( {n - 0,5} \right){i_ \equiv }\)= (n − 0,5)i= (với n là số nguyên).

* Vân tối của λ₁ trùng với vân sáng  λ₂

\(\frac{{{i_1}}}{{2{i_2}}} = \frac{{{\lambda _1}}}{{2{\lambda _2}}}\) = phân số tối giản  \( = \frac{b}{c} \Rightarrow {i_ \equiv } = 2b{i_2} = c{i_1}\)

Vì tại gốc tọa độ cách vị trí trùng gần nhất là:  \({x_{\min }} = 0,5{i_ \equiv }\) nên các vị trí trùng khác:

\(x = \left( {n - 0,5} \right){i_ \equiv }\) (với n là số nguyên).

Ví dụ 1: Trong thí nghiệm giao thoa lâng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân trên màn ảnh thu được lần lượt là i₁ = 0,8 mm và i₂ = 1,2 mm. Xác định toạ độ các vị trí trùng nhau của các vân sáng của hai hệ vân trên màn giao thoa (trong đó n là số nguyên).

A. x = l,2.n (mm)        B. x= l,8.n (mm)                    

C. x = 2,4.n (mm)       D. x = 3,2.n (mm)

Hướng dẫn

Cách 1:  

\(\begin{array}{l} x = {k_1}{i_1} = {k_2}{i_2}\\ \Rightarrow \frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \frac{{{i_2}}}{{{i_1}}} = \frac{{1,2}}{{0,8}} = \frac{3}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {k_1} = 3n\\ {k_2} = 2n \end{array} \right.\\ \Rightarrow x = 3n{i_1} = 2n{i_2} = 2,4.n\left( {mm} \right) \end{array}\)

Cách 2:  

\(\begin{array}{l} \frac{{{i_2}}}{{{i_1}}} = \frac{{1,2}}{{0,8}} = \frac{3}{2}\\ \Rightarrow {i_ \equiv } = 3{i_1} = 2{i_2} = 2,4\left( {mm} \right) \end{array}\)

 Chọn C.

Vì tại gốc tọa độ là một vị trí vân sáng trùng với vân sáng nên các vị trí trùng khác:

\(x = n{i_ \equiv } = 2,4n\) (mm)  (với n là số nguyên).

(Để tìm  ta nhân chéo hai phân thức  \(\frac{{{i_2}}}{{{i_1}}} = \frac{b}{c} \Rightarrow {i_ \equiv } = b{i_1} = c{i_2}\) ).

Ví dụ 2: Trong thí nghiệm giao thoa lâng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân trên màn ảnh thu được lần lượt là i₁ = 2,4 mm và i₂ = 1,6 mm. Khoảng cách ngắn nhất giữa các vị trí trên màn có 2 vân sáng trùng nhau là

A. 9,6 mm.                              B. 3,2 mm.                             

C. 1,6 mm.                              D. 4,8 mm.

Hướng dẫn

\(\begin{array}{l} \frac{{{i_2}}}{{{i_1}}} = \frac{{1,6}}{{2,4}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow {i_ \equiv } = 2{i_1} = 3{i_2} = 2.2,4 = 4,8\left( {mm} \right) = \Delta x \end{array}\)

 Chọn D.

Ví dụ 3: Trong thí nghiệm giao thoa Iâng, thực hiện đồng thời với hai ánh sáng đơn sắc khoảng vân giao thoa lần lượt là 0,21 mm và 0,27 mm. Lập công thức xác định vị trí trùng nhau của các vân tối của hai bức xạ trên màn (n là số nguyên).

A. x = l,2.n + 3,375 (mm).                                          B. x = l,89.n + 0,945 (mm).

C. x = l,05n + 0,525 (mm).                                         D. x = 3,2.n (mm).

Hướng dẫn

Cách 1:

\(\begin{array}{l} x = \left( {2{m_1} + 1} \right).\frac{{0,21}}{2} = \left( {2{m_2} + 1} \right).\frac{{0,27}}{2}\left( {mm} \right)\\ \Rightarrow \frac{{2{m_1} + 1}}{{2{m_2} + 1}} = \frac{9}{7}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{n_1} + 1 = 9\left( {2n + 1} \right)\\ 2{m_2} + 1 = 7\left( {2n + 1} \right) \end{array} \right.\\ x = 9\left( {n + 1} \right).\frac{{0,21}}{2} = 1,89n + 0,945\left( {mm} \right) \end{array}\)

 Chọn B.

Cách 2:  

\(\begin{array}{l} \frac{{{i_2}}}{{{i_1}}} = \frac{{0,27}}{{0,21}} = \frac{9}{7}\\ \Rightarrow {i_ \equiv } = 9{i_1} = 7{i_2} = 9.0,21 = 1,89\left( {mm} \right) \end{array}\)

Vì tại gốc tọa độ O không phải là vị trí vân tối trùng và O cách vị trí trùng gần nhất là \({x_{\min }} = 0,5{i_ \equiv } = 0,945\)  mm nên các vị trí trùng khác:

\(x = \left( {n + 0,5} \right){i_ \equiv } = 1,890n + 0,945\,mm\) (với n là số nguyên).

Ví dụ 4: Trong thí nghiệm giao thoa lâng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân nên màn ảnh thu được lần lượt là i₁ = 0,5 mm và i₂ = 0,3 mm. Khoảng cách gần nhất từ vị trí trên màn có 2 vân tối trùng nhau đến vân trung tâm là

A. 0,75 mm                 B. 3,2 mm                              

C. 1,6 mm                   D. 1,5 mm

Hướng dẫn

\(\begin{array}{l} \frac{{{i_2}}}{{{i_1}}} = \frac{{0,3}}{{0,5}} = \frac{3}{5}\\ \Rightarrow {i_ \equiv } = 3{i_1} = 5{i_2} = 3.0,5 = 1,5\left( {mm} \right) \end{array}\)

Vì tại gốc tọa độ O không phải là vị trí vân tối trùng và O cách vị trí trùng gần nhất là :

\({x_{\min }} = 0,5{i_ \equiv } = 0,75mm \)

Chọn A.

Ví dụ 5: Trong thí nghiệm giao thoa Iâng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân trên màn ảnh thu được lần lượt là 1,35 mm và 2,25 mm. Tại hai điểm gần nhau nhất trên màn là M và N thì các vân tối của hai bức xạ trùng nhau. Tính MN.

A. 3,375 (mm)             B. 4,375 (mm)            

C. 6,75 (mm)               D. 3,2 (mm)

Hướng dẫn

\(\begin{array}{l} \frac{{{i_2}}}{{{i_1}}} = \frac{{2,25}}{{1,35}} = \frac{5}{3}\\ \Rightarrow {i_ \equiv } = 5{i_1} = 3{i_2} = 5.1,35 = 6,75\left( {mm} \right) = \Delta x = MN \end{array}\)

 Chọn C.

Ví dụ 6: Trong thí nghiệm giao thoa Iâng, thực hiện đồng thời với hai bức xạ đơn sắc khoảng vân lần lượt: 1,35 mm và 2,25 mm. Tại điểm M trên màn cách vân trung tâm một đoạn b cả hai bức xạ đều cho vân tối tại đó. Hỏi b chỉ có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

A. 3,75 mm.                B. 5,75 mm.                           

C. 6,75 mm.                D. 10,125 mm.

Hướng dẫn

Cách 1:  

\(\begin{array}{l} x = \left( {{m_1} + 0,5} \right).1,35 = \left( {{m_2} + 0,5} \right).2,25\left( {mm} \right)\\ \Rightarrow \frac{{2{m_1} + 1}}{{2{m_2} + 1}} = \frac{5}{3}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{m_1} = 5\left( {2n + 1} \right) \Rightarrow {m_1} = 5n + 2\\ 2{m_2} + 1 = 3\left( {2n + 1} \right) \end{array} \right.\\ x = \left( {5n + 2 + 0,5} \right).1,35\left( {mm} \right)\\ \Leftrightarrow x = 6,75n + 3,375\left( {mm} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} n = 1 \Rightarrow x = 3,375\left( {mm} \right)\\ n = 2 \Rightarrow x = 10,125\left( {mm} \right) \end{array} \right. \end{array}\)

 Chọn D.

Cách 2:  

Vì tại gốc tọa độ O không phải là vị trí vân tối trùng và O cách vị trí trùng gần nhất là  \({x_{\min }} = 0,5{i_ \equiv } = 0,375mm\) nên các vị trí trùng khác:

\(x = \left( {n + 0,5} \right){i_ \equiv } = 6,75n + 3,375mm\) (với n là số nguyên)

Chọn D.

Ví dụ 7: Trong thí nghiệm giao thoa Iâng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân trên màn ành thu được lần lượt là i₁ = 0,5 mm và i₂ = 0,4 mm. Hai điểm M và N trên màn mà tại các điểm đó hệ 1 cho vân sáng và hệ 2 cho vân tối. Khoảng cách MN nhỏ nhất là

A. 2 mm.                                 B. 1,2 mm.                             

C. 0,8 mm.                              D. 0,6 mm.

Hướng dẫn

Cách 1:  

\(\begin{array}{l} x = {k_1}{i_1} = \left( {2{m_2} + 1} \right).0,5{i_2}\\ \Rightarrow \frac{{{k_1}}}{{2{m_2} + 1}} = \frac{{0,5{i_2}}}{{{i_1}}} = \frac{{0,5.0,4}}{{0,5}} = \frac{2}{5}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {k_1} = 2\left( {2n + 1} \right)\\ 2{m_2} + 1 = 5\left( {2n + 1} \right) \end{array} \right.\\ x = 2\left( {2n + 1} \right)0,5\left( {mm} \right)\\ \Rightarrow {x_{n + 1}} - {x_n} = 2\left( {mm} \right) \end{array}\)

 Chọn A.

Cách 2:

* Vân tối của λ₂ trùng với vân sáng λ₁:

\(\begin{array}{l} \frac{{{i_2}}}{{2{i_1}}} = \frac{{0,4}}{{2.0,5}} = \frac{2}{5}\\ \Rightarrow {i_ \equiv } = 2.2{i_1} = 5{i_2} = 2.2.0,5 = 2\left( {mm} \right) = \Delta x = MN \end{array}\)

 Chọn A.

 

...

---Để xem tiếp nội dung phần Bài tập minh họa, các em vui lòng đăng nhập vào trang hoc247.net để xem online hoặc tải về máy tính---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề Lý thuyết và bài tập Xác định các vị trí trùng nhau của hai hệ vân trong Giao thoa ánh sáng năm 2020. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập .

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Bài tập trắc nghiệm Vật lý 12 chủ đề Mạch dao động có các tụ ghép năm 2020

• 4 bài toán liên quan đến hiện tượng Tán sắc ánh sáng quan trọng nhất môn Vật lý 12 năm 2020

• Bài tập và công thức tính nhanh về Con lắc lò xo, Con lắc đơn trong DĐĐH

Chúc các em học tập tốt !