Các dạng phương trình mặt cầu toán 12

Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M  trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.     

Kí hiệu: \(S\left( I;R \right)\)\(\Rightarrow S\left( I;R \right)=\left\{ M/IM=R \right\}\text{ }\)

Dạng 1: Phương trình chính tắc

Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( a;b;c \right)\), bán kính \(R>0\).

\(\left( S \right):\text{ }{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}\). 

Dạng 2: Phương trình tổng quát

\(\text{  }(S):\text{  }{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0\text{  }\)  (2)

\(\Rightarrow \) Điều kiện để phương trình (2) là phương trình mặt cầu: \(\text{ }{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0\)

• (S) có tâm \(I\left( a;b;c \right)\).

• (S) có bán kính: \(R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}\)..

Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

a) \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 2;2;-3 \right)\) và bán kính \(R=3\).        

b) \(\left( S \right)\) có  tâm \(I\left( 1;2;0 \right)\) và (S) qua  \(P\left( 2;-2;1 \right)\).

c) \(\left( S \right)\) có  đường kính AB với \(A\left( 1;3;1 \right),\text{ }B\left( -2;0;1 \right)\).

Bài giải:

a) Mặt cầu tâm \(I\left( 2;2;-3 \right)\) và bán kính \(R=3\), có phương trình:

(S): \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=9\)

b) Ta có: \(\overrightarrow{IP}=\left( 1;-4;1 \right)\Rightarrow IP=3\sqrt{2}\).

Mặt cầu tâm \(I\left( 1;2;0 \right)\) và bán kính \(R=IP=3\sqrt{2}\), có phương trình:

(S): \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=18\)

c) Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( -3;-3;0 \right)\Rightarrow AB=3\sqrt{2}\).

Gọi I là trung điểm AB\(\Rightarrow I\left( -\frac{1}{2};\frac{3}{2};1 \right)\).

Mặt cầu tâm \(I\left( -\frac{1}{2};\frac{3}{2};1 \right)\) và bán kính \(R=\frac{AB}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\), có phương trình:

(S): \({{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\frac{9}{2}\).

Bài tập 1: Chứng minh rằng: Mặt cầu \((S):\text{  }{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-3=0\) cắt mặt phẳng (P): \(x-2=0\) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).

Bài giải :

* Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 1;0;0 \right)\) và bán kính \(R=2\).

Ta có : \(\text{d}\left( I,\left( P \right) \right)=1<2=R\Leftrightarrow \)mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. (đ.p.c.m)

* Đường thẳng d qua \(I\left( 1;0;0 \right)\) và vuông góc với (P) nên nhận \({{\vec{n}}_{P}}=\left( 1;0;0 \right)\) làm 1 vectơ chỉ phương, có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 0\\ z = 0 \end{array} \right.\).

+ Tọa độ tâm I’ đường tròn là nghiệm của hệ : \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 0\\ z = 0\\ x - 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 0\\ z = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {I^/}\left( {2;0;0} \right)\).

+ Ta có: \(d\left( I,\left( P \right) \right)=1\). Gọi r là bán kính của (C), ta có : \(R=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I,\left( P \right) \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{3}.\)

Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

a) (S) qua \(A\left( 3;1;0 \right),\text{ }B\left( 5;5;0 \right)\) và tâm I  thuộc trục \(Ox\).

b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\text{ }16x-15y-12z+75=0\).

c) (S) có tâm \(I\left( -1;2;0 \right)\) và có một tiếp tuyến là đường thẳng \(\Delta :\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-3}.\)

Bài giải:

a) Gọi \(I\left( a;0;0 \right)\in Ox\). Ta có : \(\overrightarrow{IA}=\left( 3-a;1;0 \right),\text{ }\overrightarrow{IB}=\left( 5-a;5;0 \right)\).

Do (S) đi qua A, B\(\Leftrightarrow IA=IB\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 3-a \right)}^{2}}+1}=\sqrt{{{\left( 5-a \right)}^{2}}+25}\Leftrightarrow 4a=40\Leftrightarrow a=10\)

\(\Rightarrow I\left( 10;0;0 \right)\) và \(IA=5\sqrt{2}\).

Mặt cầu tâm \(I\left( 10;0;0 \right)\) và bán kính \(R=5\sqrt{2}\), có phương trình (S) : \({{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=50\)

b) Do (S) tiếp xúc với \(\left( \alpha  \right)\)\(\Leftrightarrow \text{d}\left( O,\left( \alpha  \right) \right)=R\Leftrightarrow R=\frac{75}{25}=3.\)

Mặt cầu tâm \(O\left( 0;0;0 \right)\) và bán kính \(R=3\), có phương trình (S) : \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9\)

c) Chọn \(A\left( -1;1;0 \right)\in \Delta \Rightarrow \overrightarrow{IA}=\left( 0;-1;0 \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \({{\vec{u}}_{\Delta }}=\left( -1;1;-3 \right)\). Ta có: \(\left[ \overrightarrow{IA},{{{\vec{u}}}_{\Delta }} \right]=\left( 3;0;-1 \right)\).

Do (S) tiếp xúc với \(\Delta \Leftrightarrow \text{d}\left( I,\Delta  \right)=R\Leftrightarrow R=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IA},{{{\vec{u}}}_{\Delta }} \right] \right|}{\left| {{{\vec{u}}}_{\Delta }} \right|}=\frac{\sqrt{10}}{11}\).

Mặt cầu tâm \(I\left( -1;2;0 \right)\) và bán kính \(R=\frac{\sqrt{10}}{11}\), có phương trình (S) : \({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=\frac{10}{121}.\)

Bài tập 3 : Viết phương trình mặt cầu (S) biết :

a) (S) qua bốn điểm \(A\left( 1;2;-4 \right),\text{ }B\left( 1;-3;1 \right),\text{ }C\left( 2;2;3 \right),\text{ }D\left( 1;0;4 \right)\).

b) (S) qua \(A\left( 0;8;0 \right),\text{ }B\left( 4;6;2 \right),\text{ }C\left( 0;12;4 \right)\) và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).

Bài giải:

a) Cách 1: Gọi \(I\left( x;y;z \right)\) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết: \(\left\{ \begin{array}{l} IA = IB\\ IA = IC\\ IA = ID \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} I{A^2} = I{B^2}\\ I{A^2} = I{C^2}\\ I{A^2} = I{D^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - y + z = - 1\\ x + 7z = - 2\\ y - 4z = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 2\\ y = 1\\ z = 0 \end{array} \right.\).

Do đó: \(I\left( -2;1;0 \right)\) và \(R=IA=\sqrt{26}\). Vậy (S) : \({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=26\).

Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0\), \(\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \right)\).

Do \(A\left( 1;2;-4 \right)\in \left( S \right)\Leftrightarrow \)        \)-2a-4b+8c+d=-21\)         (1)

Tương tự: \(B\left( 1;-3;1 \right)\in \left( S \right)\Leftrightarrow -2a+6b-2c+d=-11\)          (2)

                  \(C\left( 2;2;3 \right)\in \left( S \right)\Leftrightarrow \)\(-4a-4b-6c+d=-17\)       (3)

                  \(D\left( 1;0;4 \right)\in \left( S \right)\Leftrightarrow -2a-8c+d=-17\)     (4)

Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có \(a,\text{ }b,\text{ }c,\text{ }d\), suy ra phương trình mặt cầu (S) :

            \({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=26\).

b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz)\(\Rightarrow I\left( 0;b;c \right)\).

Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} I{A^2} = I{B^2}\\ I{A^2} = I{C^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 7\\ c = 5 \end{array} \right.\).

Vậy \(I\left( 0;7;5 \right)\) và \(R=\sqrt{26}\).

Vậy (S): \({{x}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=26.\)

Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = - 1\\ z = - t \end{array} \right.\) và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\text{ }x+2y+2z+3=0\) và \(\left( \beta  \right):\text{  }x+2y+2z+7=0\).

Bài giải:

Gọi \(I\left( t;-1;-t \right)\in \Delta \) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết: \(d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {I,\left( \beta \right)} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - t} \right|}}{3} = \frac{{\left| {5 - t} \right|}}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 - t = 5 - t\\ 1 - t = t - 5 \end{array} \right. \Rightarrow t = 3\).

Suy ra: \(I\left( 3;-1;-3 \right)\) và \(R=\text{d}\left( I,\left( \alpha  \right) \right)=\frac{2}{3}\).

Vậy (S) : \({{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=\frac{4}{9}\).

Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm \(A\left( 2;6;0 \right),\text{ }B\left( 4;0;8 \right)\) và có tâm thuộc d: \(\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{z+5}{1}\).

Bài giải:

Ta có \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 2t\\ z = - 5 + t \end{array} \right.\).

Gọi \(I\left( 1-t;2t;-5+t \right)\in d\) là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.

Ta có: \(\overrightarrow{IA}=\left( 1+t;6-2t;5-t \right),\text{ }\overrightarrow{IB}=\left( 3+t;-2t;13-t \right)\).

Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B\(\Leftrightarrow AI=BI\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 1+t \right)}^{2}}+{{\left( 6-2t \right)}^{2}}+{{\left( 5-t \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3+t \right)}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{\left( 13-t \right)}^{2}}}\)\(\Leftrightarrow 62-32t=178-20t\Leftrightarrow 12t=-116\Leftrightarrow t=-\frac{29}{3}\)

\(\Rightarrow I\left( \frac{32}{3};-\frac{58}{3};-\frac{44}{3} \right)\) và \(R=IA=2\sqrt{233}\).

Vậy (S): \({{\left( x-\frac{32}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{58}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z+\frac{44}{3} \right)}^{2}}=932\).

Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 2;3;-1 \right)\) và cắt đường thẳng \(\Delta :\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z}{1}\) tại hai điểm A, B với \(AB=16\).

Bài giải:

Chọn \(M\left( -1;1;0 \right)\in \Delta \Rightarrow \overrightarrow{IM}=\left( -3;-2;1 \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \({{\vec{u}}_{\Delta }}=\left( 1;-4;1 \right)\).

Ta có: \(\left[ \overrightarrow{IM},{{{\vec{u}}}_{\Delta }} \right]=\left( 2;4;14 \right)\Rightarrow \text{d}\left( I,\Delta  \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IM},{{{\vec{u}}}_{\Delta }} \right] \right|}{\left| {{{\vec{u}}}_{\Delta }} \right|}=2\sqrt{3}\).

Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết : \(R=\sqrt{{{\left[ \text{d}\left( I,\Delta  \right) \right]}^{2}}+\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=2\sqrt{19}.\)

Vậy (S): \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=76\).

Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\text{: }5x-4y+z-6=0,\text{ }\left( Q \right):\text{ }2x-y+z+7=0\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{7}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{-2}\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và \(\Delta \) sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là \(20\pi \).

Bài giải:

Ta có  \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 7t\\ y = 3t\\ z = 1 - 2t \end{array} \right.\).

Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 7t{\rm{ (1)}}\\ y = 3t{\rm{ (2)}}\\ z = 1 - 2t{\rm{ (3)}}\\ 5x - 4y + z - 6 = 0{\rm{ (4)}} \end{array} \right.\)

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: \(5\left( 1+7t \right)-4\left( 3t \right)+\left( 1-2t \right)-6=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow I\left( 1;0;1 \right)\).

Ta có : \(d\left( I,\left( Q \right) \right)=\frac{5\sqrt{6}}{3}\).

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: \(20\pi =\pi {{r}^{2}}\Leftrightarrow r=2\sqrt{5}.\)

R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết: \(R=\sqrt{{{\left[ d\left( I,\left( Q \right) \right) \right]}^{2}}+{{r}^{2}}}=\frac{\sqrt{330}}{3}.\)

Vậy (S) : \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\frac{110}{3}\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Các dạng phương trình mặt cầu toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu trong không gian Oxyz

• Chuyên đề viết phương trình mặt cầu Toán 12

Chúc các em học tốt!