Lý thuyết và bài tập về sự tương giao và sự tiếp xúc của mặt cầu

Cho mặt cầu \(S\left( I;R \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên \(\left( P \right)\)  \(\Rightarrow \text{  }d=IH\) là khoảng cách từ I đến mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó :
+ Nếu  \(d>R\) :  Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.	+ Nếu  \(d=R\) :  Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Lúc đó: \(\left( P \right)\) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H  là  tiếp điểm.	+ Nếu \(d<R:\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm I'  và bán kính \(\text{  }r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}\text{  }\)

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

Cho mặt cầu \(S\left( I;R \right)\) và đường thẳng \(\Delta \). Gọi H là hình chiếu của I lên \(\Delta \). Khi đó :
+  \(IH>R\): \(\Delta \) không cắt mặt cầu.	+  \(IH=R\): \(\Delta \) tiếp xúc với mặt cầu. \(\Delta \) là tiếp tuyến của (S) và H là  tiếp điểm.	+  \(IH<R\): \(\Delta \) cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt..

* Lưu ý: Trong trường hợp \(\Delta \) cắt (S) tại 2 điểm A, B thì  bán kính R của (S) được tính như sau:

+ Xác định: \(d\left( I;\Delta  \right)=IH.\)

+ Lúc đó: \(R = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {I{H^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} \)

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

+ Đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của (S)\(\Leftrightarrow \) \(d\left( I;\Delta  \right)=R\)

+ Mặt phẳng\(\left( \alpha  \right)\) là tiếp diện của (S)    \(\Leftrightarrow \)\(d\left( I;\left( \alpha  \right) \right)=R\)

* Lưu ý:

+ Tìm tiếp điểm \({{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\).

+ Sử dụng tính chất : \(\left[ \begin{array}{l} I{M_0} \bot d\\ I{M_0} \bot \left( \alpha \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \overrightarrow {I{M_0}} \bot {{\vec a}_d}\\ \overrightarrow {I{M_0}} \bot {{\vec n}_\alpha } \end{array} \right.\)

Ví dụ: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-6z+5=0\), biết tiếp diện:

a) qua \(M\left( 1;1;1 \right)\).

b) song song với mặt phẳng (P) : \(x+2y-2z-1=0\).

b) vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-2}\).

Bài giải:

Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( -1;2;3 \right)\), bán kính \(R=3\).

a) Để ý rằng, \(M\in \left( S \right)\). Tiếp diện tại M có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{IM}=\left( 2;-1;-2 \right)\), có phương trình :

 \(\left( \alpha  \right):\text{ }2\left( x-1 \right)-\left( y-1 \right)-2\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 2x-y-2z+1=0.\)

b) Do mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)//\left( P \right)\) nên \(\left( \alpha  \right)\) có dạng : \(x+2y-2z+m=0\).

Do \(\left( \alpha  \right)\) tiếp xúc với (S)

\(\Leftrightarrow \text{d}\left( I,\left( \alpha \right) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| m-3 \right|}{3}=3\Leftrightarrow \left| m-3 \right|=9\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-6 \\ & m=12 \\ \end{align} \right.\)

* Với \(m=-6\) suy ra mặt phẳng có phương trình : \(\text{ }x+2y-2z-6=0.\)

* Với \(m=12\) suy ra mặt phẳng có phương trình :\(\text{ }x+2y-2z+12=0.\)

c) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \({{\vec{u}}_{d}}=\left( 2;1;-2 \right)\).

Do mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\bot d\) nên \(\left( \alpha  \right)\) nhận \({{\vec{u}}_{d}}=\left( 2;1;-2 \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Suy ra mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có dạng : \(x+y-2z+m=0\).

Do \(\left( \alpha  \right)\) tiếp xúc với (S)

\(\Leftrightarrow d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| m-6 \right|}{3}=3\Leftrightarrow \left| m-6 \right|=9\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-3 \\ & m=15 \\ \end{align} \right.\)

* Với \(m=-3\) suy ra mặt phẳng có phương trình : \(\text{ }x+2y-2z-3=0.\)

* Với \(m=15\) suy ra mặt phẳng có phương trình :\(\text{ }x+2y-2z+15=0.\)

Bài tập 1: Cho đường thẳng \(\left( \Delta  \right):\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-1}\) và và mặt cầu \(\left( S \right)\) : \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4z+1=0\). Số điểm chung của \(\left( \Delta  \right)\) và \(\left( S \right)\) là :

A. 0.

B.1.

C.2.

D.3.

Bài giải:

Đường thẳng\(\left( \Delta  \right)\)đi qua \(M\left( 0;\,1;\,2 \right)\)và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left( 2;\,1;\,-1 \right)\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\)có tâm \(I\left( 1;\,0;\,-2 \right)\)và bán kính \(R=2.\)

Ta có \(\overrightarrow{MI}=\left( 1;-1;-4 \right)\)và \(\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right]=\left( -5;7;-3 \right)\)\(\Rightarrow d\left( I,\,\Delta  \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\frac{\sqrt{498}}{6}\)

Vì \(d\left( I,\,\Delta  \right)>R\) nên \(\left( \Delta  \right)\) không cắt mặt cầu \(\left( S \right).\)

Lựa chọn đáp án A.

Bài tập 2: Cho điểm \(I\left( 1;-2;3 \right)\). Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:

A. \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\sqrt{10}.\)    

B. \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}{{\left( z-3 \right)}^{2}}=10.\)         

C. \({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}{{\left( z+3 \right)}^{2}}=10.\)  

D.\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}{{\left( z-3 \right)}^{2}}=9.\)

Bài giải:

Gọi M  là hình chiếu của \(I\left( 1;-2;3 \right)\) lên Oy, ta có : \(M\left( 0;-2;0 \right)\).

\(\overrightarrow{IM}=\left( -1;0;-3 \right)\Rightarrow R=d\left( I,Oy \right)=IM=\sqrt{10}\) là bán kính mặt cầu cần tìm.

Phương trình mặt cầu là : \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}{{\left( z-3 \right)}^{2}}=10.\)

Lựa chọn đáp án B.

Bài tập 3: Cho điểm \(I\left( 1;-2;3 \right)\)và đường thẳng d có phương trình \(\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+3}{-1}\). Phương trình mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d là:

A. \({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=50.\)           

B.\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=5\sqrt{2}.\) 

C. \({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=5\sqrt{2}.\) 

D.\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=50.\)

Bài giải:

Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua \(I\left( -1;2;-3 \right)\)và có VTCP \(\overrightarrow{u}=\left( 2;\,1;\,-1 \right)\)\(\Rightarrow d\left( A,\,d \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{AM} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=5\sqrt{2}\,\,\)

Phương trình mặt cầu là : \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}{{\left( z-3 \right)}^{2}}=50.\)

Lựa chọn đáp án D.

Bài tập 4: Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( 2;3;-1 \right)\) cắt đường thẳng  \(d:\frac{x-11}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+25}{-2}\)  tại 2 điểm A, B sao cho \)AB=16\) có phương trình là:

A. \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=17.\)

B.\({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=289.\)    

C. \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=289.\) 

D.\({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=280.\)

Bài giải:

Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua \(M\left( 11;\text{ }0;-25 \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 2;\,1;\,-2 \right)\).

Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có:

\(IH=d\left( I,\,AB \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=15\,\,\)\(\Rightarrow R=\sqrt{I{{H}^{2}}+{{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}}=17\).

Vậy \(\left( S \right)\) : \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=289.\)

Lựa chọn đáp án C.

Bài tập 5: Cho đường thẳng \(d:\frac{x+5}{2}=\frac{y-7}{-2}=\frac{z}{1}\) và điểm \(I(4;1;6)\). Đường thẳng d cắt mặt cầu \(\left( S \right)\)có tâm I, tại hai điểm A, B sao cho \(AB=6\). Phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) là:

A. \({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}}=18.\) 

B.\({{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+6 \right)}^{2}}=18.\)     

C. \({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}}=9.\)    

D.\({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}}=16.\)

Bài giải :

Đường thẳng\(d\) đi qua \(M(-5;7;0)\) và có vectơ chỉ phương  \(\vec{u}=(2;-2;1)\). Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có :

\(IH=d\left( I,\,AB \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=3\)\(\Rightarrow R=\sqrt{I{{H}^{2}}+{{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}}=18\) 

Vậy \(\left( S \right)\): \({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}}=18.\)

Lựa chọn đáp án A.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về sự tương giao và sự tiếp xúc của mặt cầu. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề tính diện tích và thể tích của mặt cầu, khối cầu

• Phương pháp tìm vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu trong không gian Oxyz

Chúc các em học tốt!