Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Bài 3: Hàm số lượng giác

Giả sử vận tốc v (tính bằng lít/giây) của luồng khí trong một chu kì hô hấp (tức là thời gian từ lúc bắt đầu của một nhịp thở đến khi bắt đầu của nhịp thở tiếp theo) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi được cho bởi công thức \(v = 0,85\sin \frac{{\pi t}}{3}\), trong đó t là thời gian (tính bằng giây). Hãy tìm thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ và số chu kì hô hấp trong một phút của người đó.

Hoàn thành bảng sau:

Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x}}\)

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2},g\left( x \right) = {x^3}\) với các đồ thị như hình dưới đây.

a) Tìm các tập xác định \({D_f},\:{D_g}\) của các hàm số f(x) và g(x).

b) Chứng tỏ rằng \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right),\:\forall x \in {D_f}\). Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số y=f(x) đối với hệ trục tọa độ Oxy?

c) Chứng tỏ rằng \(g\left( { - x} \right) =  - g\left( x \right),\:\forall x \in {D_g}\). Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số y=g(x) đối với hệ trục tọa độ Oxy?

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{x}\)

So sánh:

a) sin(x+2π) và sinx;                           

b) cos(x+2π) và cosx;

c) tan(x+π) và tanx;                          

d) cot(x+π) và cotx.

Hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) có phải hàm số tuần hoàn không? Nếu hàm số tuần hoàn thì nó có chu kì không?

Xét tính tuần hoàn của hàm số y=tan2x.

Cho hàm số y = sin x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = sin x trên đoạn [– π; π] bằng cách tính giá trị của sin x với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của sin x với những x âm.

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; sin x) với x ∈ [– π; π] và nối lại ta được đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [– π; π].

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì T = 2π, ta được đồ thị của hàm số y = sin x như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.14, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số y = sin x.

Tìm tập giá trị của hàm số y=2sinx

Xét tình huống mở đầu.

a) Giải bài toán ở tình huống mở đầu

b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi v > 0 và quá trình thở ra khi v < 0. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm nào thì người đó hít vào? Người đó thở ra?

Cho hàm số y = cos x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = cos x trên đoạn [– π; π] bằng cách tính giá trị của cos x với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của cos x với những x âm.

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; cos x) với x ∈ [– π; π] và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn [– π; π].

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì T = 2π, ta được đồ thị của hàm số y = cos x như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số y = cos x.

Tìm tập giá trị của hàm số y = – 3cos x.

Trong vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t)=Acos(ωt+φ), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0), ωt+φ là pha dao động tại thời điểm t và φ∈[−π;π] là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hòa này có chu kỳ \(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\) (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần).

Giả sử một vật dao động điều hòa theo phương trình x(t)=−5cos4πt (cm).

a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.

b) Tính pha của dao động tại thời điểm t=2 (giây). Hỏi trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?

Cho hàm số y = tan x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = tan x trên khoảng (−π/2;π/2).

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; tan x) với x ∈ (−π/2;π/2) và nối lại ta được đồ thị hàm số y = tan x trên khoảng (−π/2;π/2).

Từ đồ thị ở Hình 1.16, hãy tìm tập giá trị và các khoảng đồng biến của hàm số y = tan x.

Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.16, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) để hàm số y=tanx nhận giá trị âm.

Cho hàm số y = cot x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = cot x trên khoảng (0; π).

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; cot x) với x ∈ (0; π) và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cot x trên khoảng (0; π).

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các khoảng khác có độ dài bằng chu kì T = π, ta được đồ thị của hàm số y = cot x như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.17, hãy tìm tập giá trị và các khoảng nghịch biến của hàm số y = cotx.

Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.17, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } \right]\) để hàm số y=cotx nhận giá trị dương.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{1 - \cos x}}{{\sin x}}\);

b) \(y = \sqrt {\frac{{1 + \cos x}}{{2 - \cos x}}} \).

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y=sin2x+tan2x;                   

b) y=cosx+sin²x;

c) y=sinxcos2x;                         

d) y=sinx+cosx.

Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) y = 2sin(x−π/4) -1 ;

b) y =$\sqrt{1+\cos x}-2$.

Từ đồ thị của hàm số y=tanx, hãy tìm các giá trị x sao cho tanx=0.

Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hóa bởi hàm số h(t) =\(90\cos \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\), trong đó h(t) là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm t giây.

a) Tìm chu kì của sóng.

b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.

Tìm tập xác định của hàm số sau:

a) \(y = \cot 3x\);

b) \(y = \sqrt {1 - \cos 4x} \);

c) \(y = \frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}\);

d) \(y = \sqrt {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \sin 2x}}} \).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 2 + \,3\,|\cos x\,|\);

b) \(y = 2\sqrt {\sin x} + 1\);

c)\(y = 3{\cos ^2}x + 4\cos 2x\);

d) \(y = \sin x + \cos x\).

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{\cos 2x}}{{{x^3}}}\);

b) \(y = x - \sin 3x\);

c) \(y = \sqrt {1 + \cos x} \);

d) \(y = 1 + \cos x\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - 2x} \right)\).

Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) \(y = {\rm{A}}\sin \left( {\omega x + \varphi } \right)\) với A > 0;

b) \(y = {\rm{A}}\tan \left( {\omega x + \varphi } \right)\) với A > 0;

c) \(y = 3\sin 2x + 3\cos 2x\);

d) \(y = 3\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\).

Với giá trị nào của x, mỗi đẳng thức sau đúng?

a) \(\tan x\cot x = 1\);

b) \(1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\);

c) \(1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\);

d) \(\tan x + \cot x = \frac{2}{{\sin 2x}}\).

Từ đồ thị hàm số \(y = \cos {\rm{ }}x\), hãy vẽ các đồ thị hàm số sau:

a) \(y = \, - \cos {\rm{ }}x\);

b) \(y = \,|\cos {\rm{ }}x|\);

c) \(y = \cos {\rm{ }}x + 1\);

d) \(y = \,\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\).

Từ đồ thị hàm số \(y = \sin x\), hãy xác định các giá trị của x trên đoạn\(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) sao cho:

a) \(\sin x = 0\);

b) \(\sin x > 0\).

Một con lắc lò xo dạo động điều hòa quanh vị trí cân bằng theo phương trình ở đó \(y = 25\sin 4\pi t\), y được tính bằng centimet còn thời gian t được tính bằng giây.

a) Tìm chu kì dao động của con lắc lò xo.

b) Tìm tần số dao động của con lắc, tức là số lần dao động trong một giây.

c) Tìm khoảng cách giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của con lắc.

Hằng ngày, Mặt trời chiếu sáng, bóng của một tòa chung cư cao 40m in trên mặt đất, độ dài bóng của tòa nhà này được tính bằng công thức:

\(S(t) = 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right|\),

Ở đó S được tính bằng mét, còn t là số giờ tính từ 6 giờ sáng.

a) Tính độ dài bóng của tòa nhà tại các thời điểm 8 giờ sáng, 12 giờ trưa, 2 giờ chiều và 5 giờ 45 phút chiều.

b) Tại thời điểm nào thì độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao tòa nhà?

c) Bóng tòa nhà sẽ như thế nào khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối?