Hình học 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm

a) Định nghĩa

- Ký hiệu: Đ_I

+ I gọi là tâm đối xứng.

+ Nếu Đ_I(H) = H’ thì ta gọi H đối xứng với H’ qua tâm I hay H và H’ đối xứng nhau qua tâm I.

+ Ta có: Đ_I(M)=M’\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'}  =  - \overrightarrow {IM} \)

b) Biểu diễn ảnh qua phép đối xứng tâm

- Ví dụ: Cho tam giác ABC và điểm I. Hãy biểu diễn ảnh A’B’C’ của ABC qua phép đối xứng tâm I.

Đ_I(ABC)=A’B’C’.

c) Chú ý:

- Ta có: Đ_I(M)=M’\( \Leftrightarrow \)Đ_I(M’)=M.

- Chứng minh: Đ_I(M)=M’\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'}  =  - \overrightarrow {IM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IM}  =  - \overrightarrow {IM'}  \Leftrightarrow \)Đ_I(M’)=M.

a) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x;y), gọi độ M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O ta có:

- Đ_O(M)=M’ thì: \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right.\)

b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm bất kì

- Trong hệ tọa độ Oxy, cho \(E(a;b),\,M\left( {{x_0};{y_0}} \right).\) Đ_E(M)=M’(x₀’;y₀’) có biểu thức tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x{'_0} = 2a - {x_0}\\y{'_0} = 2a - {y_0}\end{array} \right..\)

- Tính chất 1: Nếu Đ_I(M)=M’ và Đ_I(N)=N’ thì: \(\left\{ \begin{array}{l}M'N' = MN\\\overrightarrow {M'N'}  =  - \overrightarrow {MN} \end{array} \right.\)

- Nếu ba điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự thì qua phép đối xứng tâm biến thành M’, N’, P’ tương ứng cũng thẳng hàng theo thứ tự đó.

- Tính chất 2: Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

- Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua I biến H thành chính nó.

\( \Rightarrow \) Ta gọi H là hình có tâm đối xứng.

Ví dụ 1:

Cho A(-1;3), \(d:x - 2y + 3 = 0.\) Tìm ảnh của điểm A và d qua phép đối xứng tâm O.

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

Lấy \(M\left( {x,y} \right) \in d \Rightarrow \) Đ_O(M)=M’ có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - x'\\y =  - y'\end{array} \right. \Rightarrow M( - x', - y')\)

\(M \in d \Rightarrow ( - x') - 2( - y') + 3 = 0 \Leftrightarrow x' - 2y' - 3 = 0.\)

Vậy phương trình d’ là: \(x - 2y - 3 = 0.\)

Cách 2:

d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm suy ra d’ song song hoặc trùng với d.

Suy ra phương trình d’ có dạng: \(x - 2y + m = 0.\)

Ta có: \(M(3;0) \in d\)

Đ_O(M)=M’(x’,y’) với: \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - {x_M} =  - 3\\y' =  - {y_M} = 0\end{array} \right.\)

\(M' \in d' \Rightarrow 3 - 2.0 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 3.\) 

Vậy phương trình của d’ là: \(x - 2y - 3 = 0.\)

Ví dụ 2:

Cho đường tròn \((C):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 1.\) Viết phương trình (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O(0;0).

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C) có tâm I(-2;1) bán kính R=1.

Gọi I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính (C’) ta có: R’=R=1.

I’=Đ_O(I) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I}' =  - {x_I} = 2\\{y_I}' =  - {y_I} =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 1.\)

Ví dụ 3:

Cho I(2;-3), \(d:3x + 2y - 1 = 0.\) Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Hướng dẫn giải:

Lấy \(M\left( {x,y} \right) \in d \Rightarrow \) Đ_I(M)=M’ có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 4 - x\\y' =  - 6 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 - x'\\y =  - 6 - y'\end{array} \right. \Rightarrow M(4 - x', - 6 - y')\)

\(M \in d \Rightarrow 3(4 - x') + 2( - 6 - y') - 1 = 0 \Leftrightarrow  - 3x' - 2y' - 1 = 0 \Leftrightarrow 3x' + 2y' + 1 = 0.\)

Vậy phương trình d’ là: \(3x + 2y + 1 = 0.\)

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm, tính chất, biểu thức tọa độ và các dạng toán liên quan đến Phép đối xứng tâm. Thông qua các ví dụ minh học có hướng dẫn giải chi tiết các em sẽ dễ dàng nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Chương 1 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Trong các hình sau đây, hình nào không có tâm đối xứng?

  • A. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp.
  • B. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp.
  • C. Hình lục giác đều.
  • D. Hình gồm một hình vuông và đường tròn nội tiếp.

• Câu 2:

  Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(d:3x - 2y - 1 = 0.\) Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là:

  • A. . \(3x + 2y + 1 = 0\)
  • B. \( - 3x + 2y - 1 = 0\)
  • C. \(3x + 2y - 1 = 0\)
  • D. \(3x - 2y - 1 = 0.\)

• Câu 3:

  Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (S) có tâm I(3;-2), bán kính R=3. Viết phương trình ảnh của đường tròn (S) qua phép đối xứng tâm O.

  • A. \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} = 9.\)
  • B. \({(x + 3)^2} + {(y + 2)^2} = 9.\)
  • C. \({(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} = 9.\)
  • D. \({(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} = 9.\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 1 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 15 SGK Hình học 11

Bài tập 2 trang 15 SGK Hình học 11

Bài tập 3 trang 15 SGK Hình học 11

Bài tập 1.11 trang 20 SBT Hình học 11

Bài tập 1.12 trang 20 SBT Hình học 11

Bài tập 1.13 trang 21 SBT Hình học 11

Bài tập 1.14 trang 21 SBT Hình học 11

Bài tập 14 trang 18 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 15 trang 18 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 16 trang 19 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 17 trang 19 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 18 trang 19 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 19 trang 19 SGK Hình học 11 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.