Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 16: Hàm số bậc hai

Xét bài toán rào vườn ở tình huống mở đầu. Gọi x mét (0 < x < 10) là khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường. Hãy tính theo x:

a) Độ dài cạnh PQ của mảnh đất.

b) Diện tích S(x) của mảnh đất được rào chắn.

Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?

A. \(y = x^{4}+3x^{2}+2\)

B. \(y=\frac{1}{x^{2}}\)  

C. \(y=-3x^{2}+1\)   

D. \(y = 3\left ( \frac{1}{x} \right )^{2}+3\frac{1}{x}-1\)

Cho hàm số y = (x -1)(2 - 3x)

a) Hàm số đã cho có phải là hàm số bậc hai không? Nếu có, hãy xác định các hệ số a, b, c của nó.

b) Thay dấu ? bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số đã cho.

Một viên bi rơi tự do từ độ cao 19,6 m xuống mặt đất. Độ cao h (mét) so với mặt đất của viên bi trong khi rơi phụ thuộc vào thời gian t (giấy) theo công thức: h = \(19,6-4,9t^{2}\); \(h, t\geq 0\).

a) Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi rơi viên bi chạm đất?

b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số h.

Xét hàm số \(y = S(x)=-2x^{2}+20x(0<x<10)\) 

a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diến tọa độ các điểm trong bảng giá trị của hàm số lập được ở Ví dụ 1. Nối các điểm đã vẽ lại ta được dạng đồ thị hàm số \(y = S(x)=-2x^{2}+20x\) trên khoảng (0;10) như trong hình 6.10. Dạng đồ thị của hàm số \(y = S(x)=-2x^{2}+20x\) có giống với đồ thị của hàm số \(y = S(x)=-2x^{2}\) hay không?

b) Quan sát dạng đồ thị của hàm số \(y = S(x)=-2x^{2}+20x\) trong Hình 6.10, tìm tọa độ điểm cao nhất của đồ thị.

c) Thực hiện phép biến đổi \(y=-2x^{2}+20x=-2(x^{2}-10x)=-2(x^{2}-2.5.x+25)+50=-2(x-5)^{2}+50\)

Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của bài toán ở phần mở đầu.

Tương tự HĐ2, ta có dạng đồ thị của một số hàm số bậc hai sau:

Từ các đồ thị hàm số trên, hãy hoàn thành bảng sau đây:

Vẽ parabol \(y=3x^{2}-10x+7\). Từ đó tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=3x^{2}-10x+7\).

Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cầu vượt. Biết rằng trụ tháp dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng 27m, chiều cao của trụ tháp tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26m là 20m. Hãy giúp bạn Nam ước lượng độ cao của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất).

Vẽ các đường parabol sau:

a) \(y=x^{2}-3x+2\)

b) \(y=-2x^{2}+2x+3\)

c) \(y=x^{2}+2x+1\)  

d) \(y=-x^{2}+x-1\) 

Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7 hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mối hàm số bậc hai tương ứng.

Xác định parabol \(y = ax^{2}+bx+1\). trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua hai điểm A(1; 0) và B(2; 4)

b) Đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng x =1

c) Có đỉnh I(1; 2)

d) Đi qua điểm A(-1; 6) và có tung độ đỉnh -0,25.

Xác định parabol \(y = ax^{2}+bx+1\), biết rằng parabol đó đi qua điểm A(8; 0) và có đỉnh là I(6; -12).

Gọi (P) là đồ thị hàm số bậc hai \(y = ax^{2}+bx+1\). Hãy xác định dấu của hệ số a và biệt thức \(\Delta \), trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.

b) (P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành.

c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành.

d) (P) tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.

Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau:

An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng là 0,5 m là 2,93 m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là 12m.

Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.

Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé.

Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau. 

a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng x (mét) của nó.

b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.

Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng tọa độ Oxy là một parabol có phương trình \(y=\frac{-3}{1000}x^{2}+x\), trong đó x (mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc O, y (mét) là độ cao của vật so với mặt đất

a) Tìm độ cao cực đại của vật trong quá trình bay.

b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O. Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo.

Cho đồ thị của hai hàm số bậc hai như dưới đây

Với mỗi đồ thị, hãy:

a) Tìm tọa độ đỉnh của đồ thị

b) Tìm khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số

c) Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số

d) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số

Với mỗi hàm số bậc hai cho dưới đây: \(y = f(x) =  - {x^2} - x + 1\);  \(y = g(x) = {x^2} - 8x + 8\)

Hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Viết lại hàm số bậc hai dưới dạng \(y = a{(x - h)^2} + k\)

b) Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số

c) Vẽ đồ thị của hàm số

Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số bậc hai sau:

a) \(f(x) =  - {x^2} + 4x - 3\)   

b) \(f(x) = {x^2} - 7x + 12\)

Tìm parabol \(y = a{x^2} + bx + 2\), biết rằng parabol đó

a) Đi qua hai điểm \(M(1;5)\) và \(N( - 2;8)\)

b) Đi qua điểm \(A(3; - 4)\) và có trục đối xứng \(x =  - \frac{3}{2}\)

c) Có đỉnh \(I(2; - 2)\)

Xác định dấu của các hệ số a, b, c và dấu của biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\) của hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\), biết đồ thị của nó có dạng như Hình 6.16.

Bác Hùng dùng 200 m hàng rào dây thép gai để rào miếng đất đủ rộng thành một mảnh vườn hình chữ nhật.

a) Tìm công thức tính diện tích S(x) của mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng x (m) của mảnh vườn đó

b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất có thể rào được.

Một quả bóng được ném lên trên theo phương thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc ban đầu 14,7 m/s. Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao của quả bóng so với mặt đất (tính bằng mét) có thể mô tả bởi PT:

\(h(t) =  - 4,9{t^2} + 14,7t\)

a) Sau khi ném bao nhiêu giây thì quả bóng đạt độ cao lớn nhất?

b) Tìm độ cao lớn nhất của quả bóng

c) Sau khi ném bao nhiêu giây thì quả bóng rơi chạm đất?

Một hòn đá được ném lên trên theo phương thẳng đứng. Khi bỏ qua sức cản của không khí, chuyển động của hòn đá tuân theo phương trình sau:

\(y =  - 4,9{t^2} + mt + n\)

với m, n là các hằng số. Ở đây t = 0 là thời điểm hòn đá được ném lên, y(t) là độ cao của hòn đá tại thời điểm t (giây) sau khi ném và y = 0 ứng với bóng chạm đất. 

a) Tìm phương trình chuyển động của hòn đá, biết rằng điểm ném cách mặt đất 1,5 m và thời gian để hòn đá đạt độ cao lớn nhất là 1,2 giây sau khi ném

b) Tìm độ cao của hòn đá sau 2 giây kể từ khi bắt đầu ném

c) Sau bao lâu kể từ khi ném, hòn đá rơi xuống mặt đất (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)?

Một rạp chiếu phim có sức chứa 1 000 người. Với giá vé là 40 000 đồng, trung bình sẽ có khoảng 300 người đến rạp xem phim mỗi ngày. Để tăng số lượng vé bán ra, rạp chiếu phim đã kháo sát thị trường và thấy rằng nếu giá vé cứ giảm 10 000 đồng thì sẽ có thêm 100 người đến xem phim mỗi ngày.

a) Tìm công thức của hàm số R(x) mô tả doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp chiếu phim khi giá vé là x nghìn đồng

b) Tìm mức giá vé để doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp là lớn nhất.