Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Trong hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \). Hãy tìm số đo các góc giữa \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \), \(\overrightarrow {DA} \) và \(\overrightarrow {DB} \).

Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng \({0^o}\), bằng \({180^o}?\)

Cho tam giác đều ABC. Tính \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\).

Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) là một số dương? Là một số âm?

Khi nào thì \({\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)?

Cho tam giác AB C có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) theo a,b,c.

Cho hai vectơ cùng phương \(\overrightarrow u  = \left( {x;y} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {kx;ky} \right)\). Hãy kiểm tra công thức \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = k\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) theo từng trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0 \)

b) \(\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0 \) và \(k \ge 0\)

c) \(\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0 \) và \(k < 0\)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương \(\overrightarrow u  = \left( {x;y} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {x';y'} \right)\).

a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow u ,\;\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow v .\)

b) Tính \(A{B^2},O{A^2},O{B^2}\) theo tọa độ của A và B.

c) Tính \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} \) theo tọa độ của A, B.

Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {0; - 5} \right),\;\overrightarrow v  = \left( {\sqrt 3 ;1} \right)\)

Cho ba vectơ \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1}),\;\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2}),\;\overrightarrow w  = ({x_3};{y_3}).\)

a) Tính \(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w } \right),\;\overrightarrow u .\overrightarrow v  + \overrightarrow u .\overrightarrow w \) theo tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow w .\)

b) So sánh \(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w } \right)\) và \(\;\overrightarrow u .\overrightarrow v  + \overrightarrow u .\overrightarrow w \)

c) So sánh \(\;\overrightarrow u .\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow v .\overrightarrow u \)

Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow 0 \)

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Một lực \(\overrightarrow F \) không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực \(\overrightarrow F \) được phân tích thành hai lực thành phần là \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) \((\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} \;).\)

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \).

b) Giả sử các lực thành phần \(\overrightarrow {{F_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} \)tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) và lực \(\overrightarrow {{F_1}} \).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow a  = ( - 3;1),\;\overrightarrow b  = (2;6)\)

b) \(\overrightarrow a  = (3;1),\;\overrightarrow b  = (2;4)\)

c) \(\overrightarrow a  = ( - \sqrt 2 ;1),\;\overrightarrow b  = (2; - \sqrt 2 )\)

Tìm điều kiện của \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) để:

a) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|\)

b) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v  =  - \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|\)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2), B(-4; 3). Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} \) theo t.

b) Tính t để \(\widehat {AMB} = {90^o}\)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} .\)

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\)

Cho tam giác đều \(ABC\) có độ dài cạnh bằng 1.

a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Tính tích vô hướng của các cặp vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {BA} ,\) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AC} .\)

b) Gọi \(N\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C.\) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} \)

c) Lấy điểm \(P\) thuộc đoạn \(AN\) sao cho \(AP = 3PN.\) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AP} ,\,\,\overrightarrow {MP} \) thuộc hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} .\) Tính độ dài đoạn \(MP.\)

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 1,\,\,BC = \sqrt 2 .\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD.\)

a) Chứng minh rằng các đường thẳng \(AC\) và \(BM\) vuông góc với nhau.

b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC,\,\,BM.\) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AH\) và \(P\) là trung điểm của \(CD.\) Chứng minh rằng tam giác \(NBP\) là một tam giác vuông.

Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A < {90^ \circ }.\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh \(A\) là \(ABD\) và \(ACE.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) theo thứ tự là trung điểm \(BC,\,\,BD,\,\,CE.\) Chứng minh rằng:

a) \(AM\) vuông góc với \(DE.\)

b) \(BE\) vuông góc với \(CD.\)

c) Tam giác \(MNP\) là một tam giác vuông cân.

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 6,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 8\) và \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 10.\)

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right).\)

b) Tính số đo của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b .\)

Cho tam giác \(ABC\) không cân. Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ \(A,\,\,B,\,\,C;\) gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) tương ứng là trung điểm các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB}  = 0\)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A(2;1)\) và \(B(4;3).\)

a) Tìm tọa độ của điểm \(C\) thuộc trục hoành sao cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Tính chu vi và diện tích của tam giác \(ABC.\)

b) Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho tam giác \(ABD\) vuông cân tại \(A.\)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A(1;4)\) và \(C(9;2)\) là hai đỉnh của hình vuông \(ABCD.\) Tìm tọa độ các đỉnh \(B,\,\,D\) biết rằng tung độ của \(B\) là một số âm.

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A(1;1)\) và \(B(7;5).\)

a) Tìm tọa độ của điểm \(C\) thuộc trục hoành sao cho \(C\) cách đều \(A\) và \(B.\)

b) Tìm tọa độ của điểm \(D\) thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB} \) có độ dài ngắn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A( - 3;2),\,\,B(1;5)\) và \(C(3; - 1).\)

a)  Chứng minh rằng \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác ấy.

b) Tìm tọa độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC.\)

c) Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\) Tìm tọa độ của \(I.\)

Cho ba điểm \(M,\,\,N,\,\,P.\) Nếu một lực \(\overrightarrow F \) không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm, thì các công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) trong hai trường hợp sau có mối quan hệ gì với nhau?

a) Chất điểm chuyển động theo đường gấp khúc từ \(M\) đến \(N\) rồi tiếp tục từ \(N\) đến \(P.\)

b) Chất điểm chuyển động thẳng từ \(M\) đến \(P.\)