Hoạt động 3 trang 68 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Phương pháp giải

a) Vì \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow u  = (x;y)\) nên A(x; y).

b) Có \(\overrightarrow {OA}  = (x;y) \Rightarrow O{A^2} = {\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} = {x^2} + {y^2}.\)

c) Áp dụng định lí cosin trong tam giác OAB

Hướng dẫn giải

a) Vì \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow u  = (x;y)\) nên A(x; y).

Tương tự: do \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow v  = \left( {x';y'} \right)\) nên B (x’; y’)

b) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = (x;y) \Rightarrow O{A^2} = {\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} = {x^2} + {y^2}.\)

Và \(\overrightarrow {OB}  = (x';y') \Rightarrow O{B^2} = {\left| {\overrightarrow {OB} } \right|^2} = x{'^2} + y{'^2}.\)

Lại có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  = \left( {x';y'} \right) - \left( {x;y} \right) = \left( {x' - x;y' - y} \right)\)

\( \Rightarrow A{B^2} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = {\left( {x' - x} \right)^2} + {\left( {y' - y} \right)^2}.\)

c) Theo định lí cosin trong tam giác OAB ta có:

\(\cos \widehat O = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}}\)

Mà \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = OA.OB.\cos \widehat O\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = OA.OB.\frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}} = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = \frac{{{x^2} + {y^2} + x{'^2} + y{'^2} - {{\left( {x' - x} \right)}^2} - {{\left( {y' - y} \right)}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = \frac{{ - \left( { - 2x'.x} \right) - \left( { - 2y'.y} \right)}}{2} = x'.x + y'.y\end{array}\)

-- Mod Toán 10 HỌC247