Giải bài 4.30 trang 65 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Phương pháp giải

-  Tính các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BM} \) xong tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} \)

- Tính độ dài các cạnh \(AC,\,\,AH\)

- Tính các vectơ \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {NP} \) xong tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} \)

Lời giải chi tiết

a)  Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hình bình hành)

Ta có: \(\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

 \(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ =  - {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} =  - 1 + \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2 } \right) - 1 + 1 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {BM} \) \( \Rightarrow \) \(AC \bot BM\)

b)  Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt 3 \)       (1)

Xét \(\Delta ABN\) vuông tại \(A\) có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \,\,\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = 1 + 2 = 3\)

\( \Rightarrow \,\,AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)      (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(AH = \frac{1}{3}AC\)

Ta có: \(\overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}  = \frac{5}{6}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} \)

Ta có: \(\overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {CP}  - \overrightarrow {CN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD}  - \frac{5}{6}\overrightarrow {CA}  = \frac{5}{6}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \frac{5}{6}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP}  = \left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{25}}{{36}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} - \frac{1}{{18}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{{18}}.1 - \frac{5}{{36}}.\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{5}{{18}} - \frac{5}{{18}} = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB}  \bot \overrightarrow {NP} \) \( \Rightarrow \) \(NB \bot NP\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta NBP\) vuông tại \(N\).

-- Mod Toán 10 HỌC247