YOMEDIA
NONE

Tìm Min của biểu thức A=1/x^3+y^3+1/xy

Cho x,y là các số dương thỏa mãn: x+y=1 .Tìm Min của biểu thức: \(A=\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{xy}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Thay \(1=\left(x+y\right)^3\) vào biểu thức \(A\) ta có:

    \(A=\dfrac{\left(x+y\right)^3}{x^3+y^3}+\dfrac{\left(x+y\right)^3}{xy}\)

    \(A=\dfrac{x^3+y^3+3xy.\left(x+y\right)}{x^3+y^3}+\dfrac{x^3+y^3+3xy.\left(x+y\right)}{xy}\)

    \(A=1+\dfrac{3xy}{x^3+y^3}+3+\dfrac{x^3+y^3}{xy}\)

    \(A=4+\left(\dfrac{3xy}{x^3+y^3}+\dfrac{x^3+y^3}{xy}\right)\ge4+2\sqrt{\dfrac{3xy.\left(x^3+y^3\right)}{xy.\left(x^3+y^3\right)}}\)

    \(A=4+2\sqrt{3}\) (Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương)

    \(\Rightarrow A_{min}=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\) khi \(\dfrac{3xy}{x^3+y^3}=\dfrac{x^3+y^3}{xy}\)

    \(\Leftrightarrow x^3+y^3=xy\sqrt{3}\)

    \(\Leftrightarrow\left(x+y\right).\left(x^2-xy+y^2\right)=xy\sqrt{3}\)

    \(\Leftrightarrow x^2+y^2-xy\left(\sqrt{3}+1\right)=0\)\(x+y=1\).

    Đến đây thay \(x=1-y\) vào pt trên ta có:

    \(y^2.\left(3+\sqrt{3}\right)-y\left(3+\sqrt{3}\right)+1=0\) có:

    \(\Delta=\left(3+\sqrt{3}\right)^2-4.\left(3+\sqrt{3}\right)=2\sqrt{3}\)

    \(\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\sqrt{2\sqrt{3}}\)

    \(\Rightarrow y=\dfrac{3+\sqrt{3}+\sqrt{2\sqrt{3}}}{2.\left(3+\sqrt{3}\right)}\)

    \(\Rightarrow x=1-y=\dfrac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2\sqrt{3}}}{2.\left(3+\sqrt{3}\right)}\)

      bởi Truong Kha Sktj 07/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF