ON
YOMEDIA
VIDEO

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(y-2/x^2)+(z-2/y^2)+(x-2/z^2)

Cho các số x,y,z > 1 thỏa mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = \(\dfrac{y-2}{x^2}+\dfrac{z-2}{y^2}+\dfrac{x-2}{z^2}\)

Theo dõi Vi phạm
YOMEDIA

Trả lời (1)

 
 
 
  • Lời giải:

    Ta có:

    \(P=\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}\)

    \(P=\frac{(x-1)+(y-1)}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{(y-1)+(z-1)}{y^2}-\frac{1}{y}+\frac{(x-1)+(z-1)}{z^2}-\frac{1}{z}\)

    \(P=(x-1)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\right)+(y-1)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+(z-1)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

    Áp dụng BĐT AM-GM:

    \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{2}{xz}; \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{2}{xy}; \frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{2}{yz}\)

    Kết hợp với \(x-1,y-1,z-1>0\) theo đkđb thì:

    \(P\geq \frac{2(x-1)}{xz}+\frac{2(y-1)}{xy}+\frac{2(z-1)}{yz}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

    \(\Leftrightarrow P\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2\left(\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\right)\)

    \(\Leftrightarrow P\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{2(x+y+z)}{xyz}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2\)

    \(\Leftrightarrow P\geq \frac{xy+yz+xz}{xyz}-2(*)\)

    Ta có một hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

    \((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)\)

    Mà \(x+y+z=xyz\Rightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 3x^2y^2z^2\)

    \(\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \sqrt{3}(**)\)

    Từ \((*); (**)\Rightarrow P\geq \sqrt{3}-2\)

    Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

      bởi Nguyên Đình 02/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1