YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng a+b^2/b+c + b+c^2/c+a + c+a^2/a+b≥2

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thay đổi luôn thỏa mãn: \(a+b+c=1\)

Chứng minh rằng: \(\dfrac{a+b^2}{b+c}+\dfrac{b+c^2}{c+a}+\dfrac{c+a^2}{a+b}\ge2\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Tạ Tú Hoàng

    \(\dfrac{a+b^2}{b+c}+\dfrac{b+c^2}{c+a}+\dfrac{c+a^2}{a+b}\ge2\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{a\left(a+b+c\right)+b^2}{b+c}+\dfrac{b\left(a+b+c\right)+c^2}{c+a}+\dfrac{c\left(a+b+c\right)+a^2}{a+b}\ge2\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+ab+ac+b^2}{b+c}+\dfrac{ab+b^2+bc+c^2}{c+a}+\dfrac{ca+bc+c^2+a^2}{a+b}\ge2\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{b^2+c^2+b\left(c+a\right)}{c+a}+\dfrac{c^2+a^2+c\left(a+b\right)}{a+b}\ge2\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{b+c}+\dfrac{b^2+c^2}{c+a}+\dfrac{c^2+a^2}{a+b}+1\ge2\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{b+c}+\dfrac{b^2+c^2}{c+a}+\dfrac{c^2+a^2}{a+b}\ge1\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{\left(b^2+c^2\right)^2}}{c+a}+\dfrac{\sqrt{\left(c^2+a^2\right)^2}}{a+b}\ge1\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức

    \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{\left(b^2+c^2\right)^2}}{c+a}+\dfrac{\sqrt{\left(c^2+a^2\right)^2}}{a+b}\ge\dfrac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{\left(b^2+c^2\right)^2}}{c+a}+\dfrac{\sqrt{\left(c^2+a^2\right)^2}}{a+b}\ge\dfrac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2}\)

    Áp dụng bất đẳng thức Mincopski

    \(\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge\sqrt{2\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{2}\)

    \(\Rightarrow\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2\ge2\)

    \(\Rightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2}\ge1\)

    \(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{\left(b^2+c^2\right)^2}}{c+a}+\dfrac{\sqrt{\left(c^2+a^2\right)^2}}{a+b}\ge1\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{a+b^2}{b+c}+\dfrac{b+c^2}{c+a}+\dfrac{c+a^2}{a+b}\ge2\) ( đpcm )

    Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

      bởi Tạ Tú Hoàng 31/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON