YOMEDIA
NONE

Xét các số thức x, y thỏa mãn: \(x+y+1=2(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3})(*)\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

 Xét các số thức x, y thỏa mãn: \(x+y+1=2(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3})(*)\)

1. Tìm giá trị lớn nhất của x + y.

2. Tìm m để \(3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-3(x^2+y^2)\leq m\) đúng với mọi x, y thỏa mãn (*)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Thị Thúy

    1.
    Điều kiện \(x\geq 2,y\geq -3\)
    Ta có \((*)\Leftrightarrow (x+y+1)^2=4(x+y+1+2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}) (**)\)
    \(2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}\leq x+y+1\) nên từ (**) suy ra \((x+y+1)^2\leq 8(x+y+1)\)
    \(\Rightarrow x+y+1\leq 8\Rightarrow x+y\leq 7\)
    Ta có x = 6, y = 1 thỏa mãn (*) và x + y = 7. Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức x + y bằng 7
    2.
    Vì \(2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}\geq 0\)nên từ (**) suy ra \((x+y+1)^2\leq 4(x+y+1)\)
    \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x+y+1\leq 0\\ x+y+1\geq 4 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x+y+1=0 (vi \ x+y+1\geq 0)\\ x+y+1\geq 4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\)
    \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x+y=-1\\ x+y\geq 3 \end{matrix}\)
    Vì \(x^2\geq 2x\) do \((x\geq 2),y^2+1\geq 2y\) nên \(x^2+y^2+1\geq 2(x+y)\)
    Do đó 
    \(3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-3(x^2+y^2)\)\(\leq 3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-6(x+y)+3\)
    Đặt t = x + y, ta có t = -1 hoặc \(3\leq t\leq 7\)
    Xét hàm số \(f(t)=3^{t-4}+(t+1).2^{7-t}-6t+3\). Ta có \(f(-1)=\frac{2188}{243}\)
    \(f'(t)=3^{t-4}ln3+2^{7-t}-(t+1)2^{7-t}ln2-6\)
    \(f''(t)=3^{t-4}ln^23+\left [ (t+1)ln2-2 \right ]2^{7-t}ln2> 0, \forall t\notin [3;7]\)
    Suy ra f'(t) đồng biến trên (3;7). Mà f'(t) liên tuc trên [3,7] và f'(3) f'(7) < 0, do đó f'(t) = 0 có nghiệm duy nhất \(t_0\in (3;7)\)
    f'(t) = 0 có nghiệm duy nhất \(t_0\in (3;7)\)
    Bảng biến thiên

    Suy ra \(3^{x+y+4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-3(x^2+y^2)\leq \frac{148}{3}\) với mọi x, y thỏa mãn (*)
    Đẳng thức xảy ra khi x = 2, y = 1
    Vậy \(m\geq \frac{148}{3}\)

      bởi Nguyễn Thị Thúy 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON