YOMEDIA

Tìm GTNN của biểu thức: \(M=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) biết a+b+c=1

Cứu với mọi người!

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
\(M=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

 

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • Đặt \(T=ab+bc+ca(t\geq 0)\)
    ta có \(a^2+b^2+c^2\geq ab+ bc+ ca\)
    \(\Rightarrow 1=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\geq 3(ab+bc+ca)=3t\)
    \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=1+2t\) với \(t\leq \frac{1}{3}\)
    Theo bất đẳng thức Cô-si
    \(T^2=(ab+bc+ca)^2\leq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
    Do đó \(M\geq t^2+2t+2\sqrt{1-2t}\)
    Xét hàm số \(f(t)= t^2+2t+2\sqrt{1-2t}\) trên tập \(D=\left [ 0;\frac{1}{3} \right ]\)
    \(f'(t)=2t+3-\frac{2}{\sqrt{1-2t}}>0\Rightarrow f(t)\) đồng biến trên D
    \(\Rightarrow f(t)\geq f(0)=2\)
    Vậy minM = 2 đạt được khi t = 0,tức là với a,b,c không âm thỏa mãn
    \(\left\{\begin{matrix} a+b+c=1\\ ab=bc=ca\\ ab+bc+ca=0 \end{matrix}\right.\)
    \(\Leftrightarrow a,b,c\) là một trong các bộ số (0;0;1),(0;1;0),(1;0;0)

      bởi Lê Nhật Minh 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)