ADMICRO

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{y}{10y-x}+\frac{1}{2}\left ( \frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x} \right )\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1;9] và \(x \geq y, x \geq z\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{y}{10y-x}+\frac{1}{2}\left ( \frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x} \right )\)

 

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • Với a,b thỏa mãn ab \(\geq\) 1 ta có bất đẳng thức

    \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)
    Thật vậy: \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(\sqrt{ab}-1)\geq 0\) đúng
    Do ab \(\geq\) 1 Dấu bất đẳng thức xẩy ra khi a = b hoặc ab = 1 
    Áp dụng bất đẳng thức trên 
    \(P=\frac{1}{10-\frac{x}{y}}+\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+ \frac{x}{y}} \right )\geq \frac{1}{10-\frac{x}{y}}+\frac{1}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}\)
    Đặt \(\sqrt{\frac{x}{y}}=t\in t\in [1;3]\)
    Xét hàm số \(f(t)=\frac{1}{10-t^2}+\frac{1}{1+t}\) trên  [1;3]
    \(f'(t)=\frac{2t}{(10-t^2)^2}-\frac{1}{(1+t)^2};f'(t)=0\Leftrightarrow t^4-2t^3-24t^2-2t+100=0\)
    \(\Leftrightarrow (t-2)(t^3-24t-50)=0\Leftrightarrow t=2 \ do \ t^3-24t-50<0\forall t\in [1;3]\)
    BBT

    Suy ra \(P_{min}=\frac{1}{2}\) khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} x=4y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{z}{y}=\frac{x}{z}\\ \frac{x}{y}=1 \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4y \\ z=2y \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\)

      bởi hành thư 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)