YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{2a^2+b^2+c^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{a+b+c}{(a+b)c}+2\sqrt{a+b+c}\)

Cho ba số thực a, b, c thỏa \(0\leq a\leqslant b\leqslant c\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{2a^2+b^2+c^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{a+b+c}{(a+b)c}+2\sqrt{a+b+c}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (2)

  • Ta có: \(P=\frac{2a^2+b^2+c^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{a+b+c}{(a+b)c}+2\sqrt{a+b+c}\)
    \(=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}+2\sqrt{a+b+c}\)
    Vì \(0\leq a< b\leqslant c\) nên \(a^2+b^2\leq (\frac{a}{2}+c)^2\) dấu bằng xảy ra khi a = 0
    Tương tự: \(a^2+b^2\leq (\frac{a}{2}+c)^2\) dấu bằng xảy ra khi a = 0.
    Nên: \(P\geq \frac{1}{(\frac{a}{2}+b)^2}+\frac{1}{(\frac{a}{2}+c)^2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}+2\sqrt{a+b+c}\) dấu bằng xảy ra khi a = 0
    Áp dụng bất đẳng thức: với x > 0, y > 0 ta có:
    \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{1}{(x+y)^2}\) dấu bằng xảy ra khi x = y. (phải chứng minh)
    \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{(x+y)}\)  dấu bằng xảy ra khi x = y.
    Ta có: \(P\geq \frac{8}{(a+b+c)^2}+\frac{4}{a+b+c}+2\sqrt{a+b+c}\)
    Đặt \(t=\sqrt{a+b+c}\) với t > 0
    Xét hàm số \(f(t)=\frac{8}{t^4}+\frac{4}{t^3}+2t\) với t > 0
    Ta có: \(f'(t)=-\frac{32}{t^5}+\frac{8}{t^3}+2=\frac{2t^5-8t^2-32}{t^3}\)
    \(f'(t)=0\Leftrightarrow 2t^5-8t^2-32=0\Leftrightarrow 2(t^4+2t^2+4t+8)=0\Leftrightarrow t=2\)
    Bảng biến thiên:

    Suy ra \(P\geq \frac{11}{2}\) dấu bằng xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} t=\sqrt{a+b+c}=2\\ a=0,b=c\\ a+b=c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0\\ b=c=2 \end{matrix}\right.\)
    Vậy giá trị nhỏ nhất của P là  \(\frac{11}{2}\)

      bởi Nguyễn Anh Hưng 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
  • YOMEDIA

    Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

  • :L

      bởi ❤Hoshikoyo Yuri❤ 23/08/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF