YOMEDIA

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)

Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 
    \(\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}\geq \frac{a^2}{(b+c)^2+\frac{5}{4}(b+c)}=\frac{4a^2}{9(b+c)^2}\)
     Tương tự, ta có \(\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}\geq\frac{4b^2}{9(c+b)^2}\)

    Suy ra \(\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}\geq \frac{4}{9}\left ( \frac{a^2}{(b+c)^2} +\frac{b^2}{(c+a)^2}\right )\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a}\right )^2\)

    \(=\frac{2}{9}\left ( \frac{a^2+b^2+c(a+b)}{ab+c(a+b)+c^2} \right )^2\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{\frac{(a+b)^2}{2}+c(a+b)}{\frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)+c^2} \right )\)
    \(=\frac{2}{9}\left ( \frac{2(a+b)^2+4c(a+c)}{(a+b)^2+4c(a+b)+4c^2} \right )\)
    Vì \(a +b +c = 1\Leftrightarrow a+b=1-c\) nên
    \(P\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{2(1-c)^2+4c(1-c)}{(1-c)^2+4c(1-c)+4c^2} \right )-\frac{3}{4}(1-c)^2=\frac{8}{9}(1-\frac{2}{c+2})^2-\frac{3}{4}(1-c)^2\)
    Xét hàm số \(f(c)=\frac{8}{9}(1-\frac{2}{c+1})^2-\frac{3}{4}(1-c)^2\) với \(c\in (0;1)\)
    Ta có  \(f'(c)=\frac{16}{9}\left (1-\frac{2}{c+1} \right )-\frac{2}{(c+1)^2}-\frac{3}{2}(c-1)\)
    \(f'(c)=0\Leftrightarrow (c-1)(64-(3c+3)^3)=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{3}\)
    Bảng biến thiên: 

    Dựa vào bảng biến thiên ta có \(f(c)\geq -\frac{1}{9}\) với mọi \(c\in (0;1)\)
    Từ (1) và (2) suy ra \(P\geq -\frac{1}{9}\)  dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
    Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(-\frac{1}{9}\), đạt khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

      bởi Lê Văn Duyệt 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)