YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=2xy+8yz+5zx+\frac{10}{x+y+z}\)

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện \(\left\{\begin{matrix} x\geq y\geq z\geq 0\\ x^2+y^2+z^2=3 \end{matrix}\right.\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
\(P=2xy+8yz+5zx+\frac{10}{x+y+z}\)
 

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Nguyễn Thị Lưu

    Ta có: \(P=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)+6yz+3zx-3+\frac{10}{x+y+z}\)
    \(P=(x+y+z)^2+\frac{10}{x+y+z}-3+3z(2y+x)\)
    Đặt 
    \(M=3z(2y+x)\Rightarrow P=(x+y+z)^2+\frac{10}{x+y+z}-3+M\)
    Ta có: \(M\geq 0 \ \ (1). Do \ x\geq y\geq z\geq 0\)
    Theo Cauchy: 
    \(\sqrt{3z(2y+x)}\leq \frac{3z(2y+x)}{2}=\frac{2z+2y+x+z}{2}\leq \frac{2z+2y+x+x}{2}\)
    \(\Rightarrow \sqrt{3z(2y+x)}\leq x+y+z\Leftrightarrow \sqrt{M}\leq x+y+z \Leftrightarrow M\leq (x+y+z)^2 \ \ (2)\)
    Từ (1) và (2) ta có: \(0\leq M\leq (x+y+z)^2\)
    Suy ra: \((x+y+z)^2+\frac{10}{x+y+z}-3\leq P\leq 2(x+y+z)^2+\frac{10}{x+y+z}-3\)
    Đặt t = x + y + z
    Ta có: 
    \(t^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\geq x^2+y^2+z^2=3\Leftrightarrow t^2\geq 3\Leftrightarrow t\geqslant \sqrt{3}\)
    Mặt khác ta có:
    \(xy+yz+zx\leq x^2+y^2+z^2\)
    \(\Rightarrow t^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\leq 3(x^2+y^2+z^2)=9\Leftrightarrow t\leq 3\)
    Suy ra \(\sqrt{3}\leq t\leq 3\)
    Do đó ta có:
    \(t^2+\frac{10}{t}-3\leq P\leq 2t^2+\frac{10}{t}-3\) với \(t\in \left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
    Xét hàm số: \(f(t)=t^2+\frac{10}{t}-3\) với \(t\in \left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
    Ta có: \(f'(t)=2t-\frac{10}{t^2}=\frac{2(t^3-5)}{t^2}>0;\forall \in \left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
    Suy ra hàm số f(t) luôn đồng biến trên đoạn \(\left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
    Do đó ta có: \(P\geq f(t)\geq f(\sqrt{3})=\frac{10}{\sqrt{3}}\)
    \(\Rightarrow MinP=\frac{10}{\sqrt{3}}\) đạt được khi \(x=\sqrt{3};y=z=0\)

    Xét hàm số: \(g(t)=2t^2+\frac{10}{t}-3\)với \(t\in \left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
    Ta có: \(g'(t)=4t-\frac{10}{t^2}=\frac{2(2t^3-5)}{t^2}> 0;\forall \in\) \(\left [ \sqrt{3};3 \right ]\)

    Suy ra hàm số g(t) luôn đồng biến trên đoạn \(\left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
    Do đó ta có: \(P\leq g(t)\leq g(3)=\frac{55}{3}\)
    \(\Rightarrow MaxP=\frac{55}{3}\) đạt được khi x = y = z = 1

      bởi Nguyễn Thị Lưu 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF