YOMEDIA

Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2-2x+2}=3^{y-1}+1-x

Bài này phải làm sao mọi người?

Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2-2x+2}=3^{y-1}+1-x\\ \sqrt{y^2-2y+2}=3^{x-1}+1-y \end{matrix}\right.\) trên tập số thực.

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2-2x+2}=3^{y-1}+1-x \ \ (1)\\ \sqrt{y^2-2y+2}=3^{x-1}+1-y \ \ (2) \end{matrix}\right.\)
    Điều kiện \(x\in R, y\in R\)
    Đặt \(\left\{\begin{matrix} a=x-1\\ b=y-1 \end{matrix}\right.a,b\in R\) hệ (1) (2) trở thành \(\left\{\begin{matrix} a+\sqrt{a+1}=3^b \ (3)\\ b+\sqrt{b^2+1}=3^a\ (4) \end{matrix}\right.\)

    + Trừ theo vế (3) với (4), ta được:
    \(a+\sqrt{a^2+1}-b-\sqrt{b^2+1}=3^b-3^a\Leftrightarrow a+\sqrt{a^2+1}+3^a=b\sqrt{b^2+1}+3^b \ (5)\)
    Xét hàm \(f(t)=t+\sqrt{t^2+1}+3^t,t\in R\), ta có \(f'(t)=\frac{\sqrt{t^2+1}+t}{\sqrt{t^2+1}}+3^tln3>0,\forall t\in R\)
    + Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R, mà theo (5) có f(a) = f(b) nên a = b
    + Thay a = b vào (3) được \(a+\sqrt{a^2+1}=3^a \ (6)\). Vì 2 vế của (6) dương nên 

    \((6)\Leftrightarrow ln(a+\sqrt{a^2+1})=ln3^a\Leftrightarrow ln(a+\sqrt{a^2+1})-aln3=0 \ (7)\)

    Xét hàm \(g(a)=ln(a+\sqrt{a^2+1}-aln3)\Rightarrow g'(a)=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}-ln3\leq 1-ln3<0\) \(\forall a\in R\)
    + Suy ra hàm g(a) nghịch biến trên R, mà g(0) = 0, nên a = 0 là nghiệm duy nhất của (7)
    + Từ đó ta có hệ \(\left\{\begin{matrix} a=0\\ b=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-1=0\\ y-1=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)
    Vậy x = y = 1 là nghiệm của hệ đã cho

      bởi Phong Vu 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)