YOMEDIA
NONE

Chứng minh 2 < log_2 3+log_3 2 < 5/2

Chứng minh các bất đẳng thức Logarit :

a) Không dùng máy tính, chứng minh rằng : \(2<\log_23+\log_32<\frac{5}{2}\)

b) Cho \(a\ge1,b\ge1\), chứng minh rằng \(\frac{\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}}{2}\le\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}\)

c) Chứng minh rằng : \(\log_{2006}2007>\log_{2007}2008\). Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát ?

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • phạm quyền

    a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương, ta có :

    \(\log_23+\log_32>2\sqrt{\log_23.\log_32}=2\sqrt{1}=2\)

    Không xảy ra dấu "=" vì \(\log_23\ne\log_32\)

    Mặt khác, ta lại có :

    \(\log_23+\log_32<\frac{5}{2}\Leftrightarrow\log_23+\frac{1}{\log_23}-\frac{5}{2}<0\)

                                 \(\Leftrightarrow2\log^2_23-5\log_23+2<0\)

                                \(\Leftrightarrow\left(\log_23-1\right)\left(\log_23-2\right)<0\) (*)

    Hơn nữa, \(2\log_23>2\log_22>1\) nên \(2\log_23-1>0\)

    Mà \(\log_23<\log_24=2\Rightarrow\log_23-2<0\)

    Từ đó suy ra (*) luôn đúng. Vậy \(2<\log_23+\log_32<\frac{5}{2}\)

    b) Vì \(a,b\ge1\) nên \(\ln a,\ln b,\ln\frac{a+b}{2}\) không âm. 

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

    \(\ln a+\ln b\ge2\sqrt{\ln a.\ln b}\)

    Suy ra 

    \(2\left(\ln a+\ln b\right)\ge\ln a+\ln b+2\sqrt{\ln a\ln b}=\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)

    Mặt khác :

    \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{2}\left(\ln a+\ln b\right)\)

    Từ đó ta thu được :

    \(\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{4}\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)

    hay \(\frac{\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}}{2}\le\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}\)

    c) Ta chứng minh bài toán tổng quát :

    \(\log_n\left(n+1\right)>\log_{n+1}\left(n+2\right)\) với mọi n >1

    Thật vậy, 

    \(\left(n+1\right)^2=n\left(n+2\right)+1>n\left(n+2\right)>1\) 

    suy ra :

    \(\log_{\left(n+1\right)^2}n\left(n+2\right)<1\Leftrightarrow\frac{1}{2}\log_{n+1}n\left(n+2\right)<1\)

                                      \(\Leftrightarrow\log_{n+1}n+\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)<2\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

    \(2>\log_{\left(n+1\right)}n+\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)>2\sqrt{\log_{\left(n+1\right)}n.\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)}\)

    Do đó ta có :

    \(1>\log_{\left(n+1\right)}n.\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)\) và \(\log_n\left(n+1>\right)\log_{\left(n+1\right)}\left(n+2\right)\) với mọi n>1

     

      bởi phạm quyền 27/09/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF