YOMEDIA
NONE

Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn \(x+y+z^2=xy+2\)

Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn \(x+y+z^2=xy+2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{2x}{x^2+y^2+6}+\frac{y}{x+y+2z}-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{4\sqrt{2z}}\)
 

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
    \(x^2+y^2+6\geq 2xy+6=2(x+y+z^2-2)+6=2(x+y+z^2+1)\geq 2(x+y+2z)\)
    \(\Rightarrow \frac{2x}{x^2+y^2+6}\leq \frac{2x}{2(x+y+2z)}=\frac{x}{x+y+2z}\)
    \(\sqrt{x^2+y^2}\geq \frac{x+y}{\sqrt{2}}\Rightarrow -\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{4\sqrt{2z}} \leq -\frac{x+y}{8z}\)
    Khi đó 
    \(P\leq \frac{x}{x+y+2z}+\frac{y}{x+y+2z}-\frac{x+y}{8z}=\frac{x+y}{x+y+2z} -\frac{x+y}{8z}\)
    \(\frac{\frac{x+y}{z}}{\frac{x+y}{z}+2}-\frac{1}{8}.\frac{x+y}{z}=\frac{t}{t+2}-\frac{t}{8 }=f(t)\), với \(\frac{x+y}{z}>0\)

    Xét \(\frac{t}{t+2}-\frac{t}{8}\) với t > 0 
    \(f'(t)=\frac{2}{(t+2)^2}-\frac{1}{8}=\frac{16-(t+2)^2}{8(t+2)^2},f'(t)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t>0\\ (t+2)^2=16 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=2\)

    Ta có:

    Suy ra \(f(t)\leq f(2)=\frac{1}{4}\Rightarrow P\leq \frac{1}{4}\)
    Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
    \(\left\{\begin{matrix} x+y=2z\\ x=y,z=1\\ x+y+z^2=xy+2\\ x,y,z>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
    Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{1}{4}\)

      bởi hai trieu 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF