YOMEDIA
NONE

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a^3+b^3=c^3\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a^3+b^3=c^3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
\(P=(a^2+b^2-x^2)\left [ \frac{1}{(a-c)^2} +\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{a^2+b^2} \right ]\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Lê Minh Hải

    Ta có \(P=(a^2+b^2-c^2)\left [ \frac{1}{(a-c)^2}+\frac{1}{(b-c)^2} \right ]-\frac{c^2}{a^2+b^2}+1\)
    Do  \(a^3+b^3=c^3\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=1 \Rightarrow 0< \frac{a}{c}< 1;0< \frac{b}{c}< 1\)
    Do đó  \(1=\left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2< \left ( \frac{a}{c} \right )^2 +\left ( \frac{b}{c} \right )^2\Rightarrow a^2+b^2-c^2>0 \ (1)\)
    Theo BĐT Cô Si: \(\frac{1}{(a-c)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq 2\sqrt{\frac{1}{(a-c)^2}.\frac{1}{(b-c)^2}} =\frac{2}{(c-a)(c-b)}>0 \ (2)\)
    Từ (1) và (2) suy ra 
    \(P\geq \frac{2(a^2+b^2-c^2)}{(c-a)(c-b)}-\frac{c^2}{a^2+b^2}+1 \ (1)\)
    Đặt \(x=\frac{a}{c};y=\frac{b}{c};t=x+y\). Ta có \(x^3+y^3=1\)
    Dễ thấy \(x^3+y^3=(x+y)\left [ \frac{1}{4}(x+y)^2+\frac{3}{4}(x-y)^2 \right ]\geq \frac{1}{4 }(x+y)^3\Rightarrow x+y\leq \sqrt[3]{4}\)và \((x+y)^3>x^3+y^3=1\Rightarrow x+y>1\) nên \(t\in (1;\sqrt[3]{4}]\)

    Ta có \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\Rightarrow 1=t^3-3txy\Rightarrow xy=\frac{t^3-1}{3t}\)
    \(\Rightarrow x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=\frac{t^3+2}{3t}\). Từ (3) suy ra:
    \(P\geq \frac{2(x^2+y^2-1)}{(1-x)(1-y)}-\frac{1}{x^2+y^2}\)
    \(=\frac{2(t+2)(t-1)^2}{(t-1)^3}-\frac{3t}{t^3+2}+1=\frac{2(t+2)}{t-1}-\frac{3t}{t^3+2}+1\)
    Xét hàm số \(f(t)=\frac{2(t+2)}{t-1}-\frac{3t}{t^3+2}+1;t\in (1;\sqrt[3]{4}]\)
    \(f'(t)=\frac{-6}{(t-1)^2}+\frac{6t^3}{(t^3+2)^2}=\frac{6\left [ (t-1)^2(t^3-1)-(t^3+2)^2 \right ]}{(t-1)^2(t^3+2)^2}<0\)
    (Vì \(t\in (1;\sqrt[3]{4})\Rightarrow (t-1)^2(t^3-1)\leq 3(\sqrt[3]{4}-1)^2<2(t^3+2)^2>2)\)
    Suy ra \(\underset{(1;\sqrt[3]{4}]}{min}f(t)=f(\sqrt[3]{4})=\frac{5\sqrt[3]{4}+6}{2(\sqrt[3]{4}-1)}\)
    Từ đó ta có \(minP=\frac{5\sqrt[3]{4}+6}{2(\sqrt[3]{4}-1)}\) khi a = b = \(a=b=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}c\)

      bởi Lê Minh Hải 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF