Xét tính đơn điệu của hàm số y=x/(x-1)

\(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,{\rm{ }}\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)  

Lưu ý: Hàm số không nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) ta có thể chứng minh bằng cách chỉ ra sự tồn tại của \({x_1} \in \left( { - \infty ;1} \right)\) và \({x_2} \in \left( {1; + \infty } \right).\) Với \(x_1<x_2\) mà \(f(x_1)<f(x_2)\) thì hàm số không nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).