Trong không gian \(Oxyz\), cho ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\), \(\left( {{d_2}} \right):\,\,\frac{{x + 1}}{3} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z + 4}}{{ - 1}}\) và \(\left( {{d_3}} \right):\,\,\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{6}\). Đường thẳng song song \({d_3}\), cắt \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là:

Gọi \(\overrightarrow {{u_3}}  = \left( {4; - 1;6} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \({d_3}\).

Gọi đường thẳng cần tìm là \(d\). Vì \(d\parallel {d_3}\) nên \(d\) nhận \(\overrightarrow {{u_3}}  = \left( {4; - 1;6} \right)\) là 1 VTCP.

Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}A = d \cap {d_1}\\B = d \cap {d_2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {3 + 2{t_1}; - 1 + {t_1};2 - 2{t_1}} \right)\\B\left( { - 1 + 3{t_2}; - 2{t_2}; - 4 - {t_2}} \right)\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3{t_2} - 2{t_1} - 4; - 2{t_2} - {t_1} + 1; - {t_2} + 2{t_1} - 6} \right)\) cũng là 1 VTCP của đường thẳng \(d\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {{u_3}} \) là 2 vectơ cùng phương.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{3{t_2} - 2{t_1} - 4}}{4} = \frac{{ - 2{t_2} - {t_1} + 1}}{{ - 1}} = \frac{{ - {t_2} + 2{t_1} - 6}}{6}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3{t_2} + 2{t_1} + 4 =  - 8{t_2} - 4{t_1} + 4\\{t_2} - 2{t_1} + 6 =  - 12{t_2} - 6{t_1} + 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{t_2} + 6{t_1} = 0\\13{t_2} + 4{t_1} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 0\\{t_2} = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow A\left( {3; - 1;2} \right);\,\,B\left( { - 1;0; - 4} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {3; - 1;2} \right)\), nhận \(\overrightarrow {{u_3}} \left( {4; - 1;6} \right)\parallel \overrightarrow u \left( { - 4;1; - 6} \right)\) có phương trình là:

\(\frac{{x - 3}}{{ - 4}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 6}}\)