Cho phương trình \({\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^x} + {\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x} = 4\). Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm thực của phương trình. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^x}.{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x} \\= {\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } .\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x}\\ = {\left( {\sqrt {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} } \right)^x} \\= {\left( {\sqrt {{2^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} } \right)^x} = 1\end{array}\)

Do đó nếu đặt \({\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right)\) thì \({\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^x} = \frac{1}{t}\), khi đó phương trình trở thành:

\(\frac{1}{t} + t = 4 \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2 + \sqrt 3 \\t = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x} = 2 + \sqrt 3 \\{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x} = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{\frac{1}{2}x}} = 2 + \sqrt 3 \\{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{\frac{1}{2}x}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 1}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2}x = 1\\\frac{1}{2}x =  - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\end{array} \right.\).

Do đó phương trình có 2 nghiệm \({x_1} =  - 2,\,\,{x_2} = 2\).

Vậy \({x_1} + {x_2} = 0\).