Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) biết khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B AB= BC= tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

Gọi H là trung điểm của AC ta có:  \(SH \bot \left( {SAC} \right)\)

ABC vuông tại B nên:\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a\)  

SAC là tam giác đều nên: SC=SA=AC=2a.

Vậy:  \(SH = \sqrt {S{A^2} - H{A^2}} = a\sqrt 3\)

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AB.BC.SH = \frac{1}{2}{a^3}\)

Do ABC là tam giác vuông nên \(BH = \frac{1}{2}AC = a \Rightarrow SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = 2a\)  

Xét tam giác SBC có: SC=SB=2a, BC=a

Vậy diện tích tam giác SAC là:  \({S_{\Delta SBC}} = \frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l} {V_{S.ABC}} = {V_{A.SBC}} = \frac{1}{3}.{S_{SBC}}.d(A,(SBC))\\ \Rightarrow d(A,(SBC) = \frac{{3.{V_{A.SBC}}}}{{{S_{SBC}}}} = \frac{{2a\sqrt {15} }}{5} \end{array}\)