Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q

Đặt \(\frac{{SM}}{{SA}} = k\)

Áp dụng định lý Talet trong Tam giác SAD có MN//AD

\(\frac{{MN}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = k \Rightarrow MN = k.A{\rm{D}}\)

Áp dụng định lý Talet trong Tam giác SAB có MQ//AB

\(\frac{{MQ}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = k \Rightarrow MQ = k.AB\)

Kẻ đường cao SH của hình chóp.

Áp dụng định lý Talet trong Tam giác SAH có MM’//SH

\(\frac{{MM'}}{{SH}} = \frac{{AM}}{{SA}} = 1 - \frac{{SM}}{{SA}} = 1 - k \Rightarrow MM' = \left( {1 - k} \right).SH\)

\(\Rightarrow {V_{MNPQ.M'N'P'Q'}} = MN.MQ.MM' = A{\rm{D}}.AB.SH.{k^2}\left( {1 - k} \right) = 3{V_{hinh\,chop}}.{k^2}.\left( {1 - k} \right)\)Thể tích hình chóp không đổi, vậy để thể tích MNPQ.M’N’P’Q’ đạt giá trị lớn nhất thì \({k^2}(1 - k)\) phải đạt giá trị lớn nhất.

Xét hàm số \(f(k) = {k^2}(1 - k),0 < k < 1\)

\(\begin{array}{l} f'(k) = 2k - 3{k^2}\\ f'(k) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{2}{3}(Do\,0 < k < 1) \end{array}\)

Lập bảng biến thiên ta thấy \(f(k)\) đạt giá trị lớn nhất tại  \(k = \frac{2}{3}.\)